1 2cost представьте в виде произведения

Теория относительности, как топология времени 1. Парадоксы теории относительности 1. В данной работе этого не будет, ну может, почти не будет. Я не буду обсуждать вопрос о том, верна ли теория относительности или насколько она верна. Основная цель этой работы иная. Я хочу просто описать теорию относительности, но не так, это делается в большинстве учебных пособий. То, что показывается в этих пособиях это даже не фасад, а та часть теории относительности, которая обращена к 1 2cost представьте в виде произведения физике. Я хочу показать ее с другой стороны, с той стороны, с которой ее обычно не показывают и о существовании которой большинство людей просто не подозревает. Я хочу провести вас за кулисы и показать внутреннюю логику этого механизма. То есть, это не альтернативная теория относительности, а ее альтернативное изложение. В изложении теории относительности сложился определенный стиль, и, практически все авторы, используют ряд весьма затасканных штампов, которые кочуют из одной книги в другую. Что характерно для этого стиля изложения материала, который я буду называть классическим, он основывается на знании классической нерелятивистской физики. То есть, авторы начинают с привычных для читателя представлений о мире, а затем заглядывают в мир физики релятивистской. Недостаток такого подхода к изложению, заключается в том, что нужно постоянно удерживать свое внимание на двух 1 2cost представьте в виде произведения системах представлений 1 2cost представьте в виде произведения мире, релятивистской то есть теории относительности и нерелятивистской обычной, классической физике. Это самое сложное, потому, что в каждый 1 2cost представьте в виде произведения времени нужно четко понимать, к какой из этих двух систем представлений о мире относятся формулы и логические построения, которыми вы пользуетесь. 1 2cost представьте в виде произведения часть формул, которые приводятся в материалах по теории относительности, переводят величины из одной системы в другую, поэтому каждый раз, когда вы их используете, вы должны понимать, к какой системе отсчета относится одна величина, а к какой другая. В некоторых формулах одновременно используются целый ряд величин, одни из которых относятся к движущимся системам отсчета, а другие к 'неподвижным'. Все дело только в том, что понятие 'неподвижная система отсчета', это термин классической 1 2cost представьте в виде произведения, который не должен применяться в теории относительности, разве что в контексте "неподвижно относительно". Вот, например, одна из основных формул теории относительности, формула сложения скоростей: В эту формулу входят только скорости, измеренные по правилам, установленным еще в классической физике. Не удивительно, что формула получилась столь громоздкой. Хотя она и приводится в большинстве учебниках как формула теории относительности, в этой формуле вообще нет величин, относящихся к этой теории, в ней есть только величины, относящиеся к классической физике. Данное заявление я обосную несколько позже. При таком стиле изложения, разобраться в основах теории относительности так же непросто, как научиться летать, не отрываясь от земли, плавать в сухом бассейне или выучить иностранный язык без погружения в соответствующую языковую среду. И все это порождает массу предрассудков по поводу теории относительности. Большинство авторов, которые опровергают эту теорию, как раз строят свои рассуждения, отчасти основываясь на логике классической физики, отчасти на логике физики релятивистской. Конечно, при 1 2cost представьте в виде произведения подходе обязательно отдельные детали этого механизма не состыкуется. Школьные учебники теорию относительности отражают в очень краткой форме и консервативно-классическом стиле, в результате чего, большинство людей приходит к выводу, что им вообще не дано понять теорию относительности. Я думаю, что даже большинство физиков эту теорию до конца не понимают. Сейчас есть целый ряд продвинутых теорий, которые основаны на идеях теории относительности и 1 2cost представьте в виде произведения физики, но эти теории полностью остаются территорией небольшого числа физиков и математиков, которые способны представить себе одинадцатимерное пространство описываемое формулами тензорного исчисления. Я буду пользоваться математическими формулами, которые способен понять любой человек, имевший в школе заслуженную четверку по математике, и не все еще, из выученного, забыл. В данной работе я буду излагать теорию относительности не как физику, а как вид геометрии, не немного сложнее той, которую изучали в школе, но несколько непривычный. И, по мере того, как я буду показывать внутреннюю логику этой системы, уже с этой точки зрения покажу, как выглядит 1 2cost представьте в виде произведения физика. Это заблуждение распространенно настолько, что большинство людей, читающих 1 2cost представьте в виде произведения строки, могут вполне искренне возмутиться. Они будут правы, ведь данное утверждение есть даже во многих учебниках. На самом деле, это утверждение противоречит основному постулату теории относительности, принципу относительности. Согласно этому принципу, любые инерциальные 1 2cost представьте в виде произведения отсчета совершенно равноправны, независимо от того, в каком направлении и с какой скоростью они движутся относительно друг друга. Поэтому и все разговоры о том, что в одной системе отсчета время идет медленней, чем в другой, противоречит самим основам теории относительности. В действительности, когда одно тело A пролетает мимо другого B со скоростью сравнимой со скоростью света, то наблюдатель A будет видеть, что у B часы идут медленнее, чем у него, а наблюдатель B, точно так же, будет видеть, что медленнее часы идут у наблюдателя Когда два объекта A и B с большой скоростью, то есть, со скоростью сравнимой со скоростью света, летят в разных направлениях, время у них течет по-разному. Но говорить о том, что у кого-то из них часы действительно идут медленнее, совершенно неверно, ну разве что, только с точки зрения классической физики. Но ее лучше в это дело не впутывать. В те времена, когда Коперник утверждал, что Земля круглая, и что она вертится, его противники богословы и ученые, сторонники представлений о мире Аристотеля, выдвигали очень весомый аргумент. Они говорили, что на обратной стороне Земли люди жить не могут, а еще там не может быть растений и животных, рек, морей и океанов. А все потому, что люди не могут ходить вверх ногами, а просто упадут 1 2cost представьте в виде произведения. Они не знали, что на другой стороне Земли низ направлен в другую сторону. Утверждение, о том, что для движущегося с большой скоростью объекта время 1 2cost представьте в виде произведения, выглядит примерно так же, как упомянутый выше средневековый предрассудок. Для объектов, которые движутся в разных направлениях и с разными скоростями, время действительно идет по-разному, 'в разных направлениях'. Проекция времени текущем "в одном направлении" на время текущее "в другом направлении" действительно, с точки зрения классической физики, выглядит как "замедление времени". Представления о том, что время это нечто линейное, и что время идет одинаково и в одном направлении для всех объектов во вселенной, это наследие классической физики, которая именно так и описывала окружающий нас мир. Для наглядности, можно привести пример из евклидовой геометрии. Представим себе два отрезка OA и OB одинаковой длины и выходящих из одной точки O под углом в 60°, как это показано на рисунке. Затем опустим перпендикуляр из точки A на отрезок OB и перпендикуляр из 1 2cost представьте в виде произведения B на отрезок OA. Теперь у нас есть проекция OA 1 отрезка OA на отрезок OB и проекция OB 1 отрезка OB на отрезок OA. Если бы на этих отрезках жили бы фантастические одномерные существа, с точки зрения их одномерного мышления, они бы принимали проекции отрезков за его реальные величины. Таким образом, они бы могли заключить, что при увеличении некоторого параметра величины угла между отрезками OA и OBвеличина 1 2cost представьте в виде произведения OB уменьшается, относительно отрезка OA, а величина отрезка OA уменьшается, относительно отрезка OB. Нечто подобное происходит и при переходе из одной системы отсчета в другую в теории относительности, с учетом, конечно, что свойства пространственно-временного континуума значительно отличаются от свойств евклидовой геометрии. При описании теории относительности очень часто ссылаются на 'парадокс близнецов', мысленный эксперимент, в котором два близнеца расстаются на некоторое время, один остается на планете Земля, а другой летит в космос с большой скоростью к далекой звезде. Проходят годы, путешественник возвращается и обнаруживает, что по его часам прошло лет двадцать, а по часам брата, оставшегося на Земле, лет сорок. Просто для примера, предположим, что на Земле прошло в два раза больше времени, хотя это соотношение может быть и совсем другим. Некоторые авторы описывают этот парадокс как интересный феномен, а некоторые пытаются с его помощью опровергнуть теорию относительности. И еще этот пример приводят как обоснование утверждения, что при движении со скоростью, сравнимой со скоростью света, течение времени замедляется. При этом слово "относительно" либо пропускается, либо ему придается совершенно формальное значение. Большинство людей совершенно искренне полагают, что согласно теории относительности при движении со скоростью, близкой к скорости света, ход времени действительно замедляется, без всяких оговорок об относительности. Да, конечно, человек, остававшийся на Земле, может подумать, что образовавшаяся в "парадоксе близнецов" разница во времени 1 2cost представьте в виде произведения с тем, что его брат с большой скоростью перемещался в пространстве. Именно так оно и выглядит, если смотреть на теорию относительности через призму физики классической. И сам парадокс существует, только если смотреть на происходящее с точки зрения физики классической. Но давайте взглянем на ситуацию с точки зрения другого человека, того, который проделал космическое путешествие. Для наглядности, предположим, что разгоняется и тормозится корабль этого человека очень быстро. Очень быстро, это соответствует ускорениям в десятки, может быть сотни g, то есть значительно больше, чем ускорение свободного падения на 1 2cost представьте в виде произведения Земли. Предположим, что техника будущего позволит выдерживать 1 2cost представьте в виде произведения ускорения без вреда для организма. Тогда разгон и торможение у него займет несколько месяцев и можно будет проследить за происходящим, отдельно рассмотреть участки разгона и торможения, отдельно рассмотреть участки неускоренного прямолинейного движения. Все время, пока он, разогнавшись, летел от Земли к далекой звезде с постоянной скоростью и в одном направлении, с его точки зрения, время на Земле шло медленнее чем у него примерно в два раза. А затем, когда он возвращался от звезды к Земле и тоже летел с постоянной скоростью и тоже в одном направлении, с его точки зрения, время на Земле тоже шло медленнее, чем у него, примерно в два раза. Точно так же, как с точки зрения наблюдателя с Земли, медленнее шло время у космонавта. Ведь в это время он был вполне равноправной с Землей 'инерциальной системой отсчета'. Это один из наиболее важных принципов теории относительности, все инерциальные системы отсчета равноправны и во всех инерционных системах отсчета физические законы совершенно идентичны, включая постоянство величины скорости света. С точки зрения наблюдателя, расположенного на Земле, у космонавта время шло в два 1 2cost представьте в виде произведения медленнее. А с точки зрения космонавта, время 1 2cost представьте в виде произведения Земле шло в два раза медленнее, чем у него. Но речи о реальном замедлении времени не идет, ни в одном, ни в другом случае, речь идет только о том, что проекция одного направления времени на другое равна половине реальной величины. Мы приняли, что в одну сторону космонавт летел десять лет по своим часам, а потом 1 2cost представьте в виде произведения летел обратно тоже десять лет по своим часам, всего двадцать лет. Следовательно, пока он летел с постоянной скоростью, с его точки зрения, на Земле прошло времени в два раза меньше, чем у него, 1 2cost представьте в виде произведения десять лет. Когда же он возвращается на Землю, то обнаруживает, что там прошло сорок лет. Возникает естественный вопрос, а куда делись еще тридцать лет? Согласитесь, это не так мало. Ответа на этот вопрос вы не найдете в школьных учебниках и вообще во многих из пособий по теории относительности. Классический стиль изложения материала по этой теме страдает удивительной болезнью: 'шаг вперед, полшага назад'. И даже при упоминании парадокса близнецов, информация о нем дается в большинстве случаев в урезанном виде. Все серьезные вопросы, в конце концов, сводятся к взгляду с точки зрения классической физики. Более серьезные источники описывают теорию относительности при помощи формул тензорного исчисления, и для большинства людей эти источники остаются совершенно непонятными. Так, что придется думать самим. А ведь, кроме временных парадоксов, в теории относительности еще есть такие вещи, как изменение геометрических размеров тел, превращение массы в энергию и обратно, парадокс одновременности и еще много других интересных эффектов. При классическом стиле изложения материала трудно 1 2cost представьте в виде произведения, причины этих эффектов и они выглядят как фокусы умелого иллюзиониста. Единственный источник разницы в тридцать лет, это, то время, когда космонавт разгонялся и потом тормозил, то есть изменял свою скорость в пространстве и не являлся инерциальной системой отсчета. Возможно, некоторые из читателей, уже начали прикидывать влияние гравитационного поля и движения с ускорением на замедление времени. Этот эффект существует, но он настолько мал, что в данном случае им можно объяснить разницу в нескольких минут, возможно, нескольких часов, но уж точно не тридцати лет. Наиболее продвинутые источники по теории относительности отмечают этот факт, и указывают, что причиной того, что у космонавта прошло меньше времени, не в том, что космонавт двигался с большой скоростью, а в том, что он ускоряется и переходил из одной системы отсчета в другую. В самом начале, для того, чтобы разогнаться, а затем, ускоряется для того, чтобы уменьшить свою скорость относительно Земли, и в обоих случаях меняет свою систему отсчета. Торможение это ведь тоже ускорение, но в другую сторону. Но даже в этих источниках вы не найдете ряд любопытных особенностей происходящего. Вот, 1 2cost представьте в виде произведения, в источнике "Теория относительности для астрономов" Сажин Государственный Астрономический Институт им. Штернберга, Москваприводится весьма толковое изложение теории относительности. В этой работе указывается следующее: "Одним из наиболее распространенных способов опровергнуть СТО служил т. С его точки зрения Земля движется со скоростью близкой к скорости света, а следовательно, на Земле часы должны идти медленнее. Брат - путешественник, вернувшись на Землю, обнаружит, что у его брата - близнеца часы показывают только 365 дней". После чего делается вывод, что СТО не верна. Разумеется, этот вывод основан на ошибке. Ошибка заключается в том, что космонавт, путешествующий на ракете, часть пути находится в неинерциальной системе отсчета. Поэтому две системы неэквивалентны. Доказано это будет, когда мы познакомимся с вычислением собственного времени в ускоренных системах отсчета". И далее по тексту приводится анализ этого парадокса самим Альбертом Эйнштейном. В этом анализе утверждается, что причиной замедления времени у космонавта является гравитационное поле, которое возникает при ускорении космического корабля. Вот, например такая фраза: "В течении пятой стадии часы вновь замедляются гравитационным полем". Приводится формула, в которой присутствуют два слагаемых, так называемые пропорциональный и потенциальный 1 2cost представьте в виде произведения. Пропорциональным членом автор называет вклад в замедление времени собственно гравитационным полем. Это тот же эффект, который замедляет время в гравитационном поле черной дыры, однако на всех стадиях полета, вкладом данного члена можно пренебречь. Знак плюс выбран потому, что ускорение направлено от A к B ". Что же это за "гравитационный потенциал", который зависит от величины и направления ускорения космического корабля и прямо пропорционален расстоянию между комическим кораблем и Землей? К гравитационному полю Земли эта величина никакого отношения не имеет. На мой взгляд, используемый термин не отражает реальных причин данного явления и просто запутывает исследователей. Давайте разбираться в реальном физическом смысле этого "потенциала". Но прежде давайте познакомимся с эффектом относительности одновременности. Эйнштейн представляет, что он сидит на луче света с фонариком в руке, светит вперед и луч из фонарика летит со скоростью света относительно автора теории относительности. А раз этот предмет 1 2cost представьте в виде произведения занят, я буду использовать другой образ - лазерную указку, хотя для данного эксперимента фонарик тоже подойдет. Если Вы возьмете в руку лазерную указку и посветите на стену в своей комнате, а потом чуть покачаете рукой, пятно света отклонится на несколько сантиметров. Если вы посветите на соседнее здание и сделаете такое же движение, то пятно света отклониться на несколько десятков метров. Если посветить на Луну, то Вы ничего не увидите, потому, что отраженный луч будет слишком слабым, но понятно, что в этом случае луч света отклонится 1 2cost представьте в виде произведения на тысячи километров. Смещение будет пропорционально расстоянию до объекта. Есть в теории относительности такое явление, как зависимость одновременности событий от системы отсчета. Если вы переходите в другую систему отсчета, то некоторые события, которые вы раньше считали происходящими одновременно, окажутся одни в прошлом, другие в будущем. А для того чтобы изменить систему отсчета, достаточно изменить скорость или направление движения. Следующий эксперимент лучше выполнять мысленно, ну или, в крайнем случае, с соблюдением всех правил дорожного движения. Представьте себя за рулем машины, стоящей у обочины. Теперь представьте в километре от вас инспектора дорожно-патрульной службы. Знаете ли Вы, что за то время, пока машина набирала скорость, инспектор сместился в прошлое? Совсем немного, на небольшую величину, но времени у него пройдет несколько больше, чем у вас. Современные атомные часы такое небольшое смещение не зафиксируют. Если же Вы поедите в обратную сторону с той же скоростью, от инспектора, то он сместится в будущее, на такую же малую величину времени и окажется, что у вас прошло времени больше, чем у него. В этом примере инспектор находится сравнительно недалеко от вас, всего в километре. Здесь эффект тот же, что с лазерной указкой, чем дальше от вас находится объект, тем сильнее перемещает 1 2cost представьте в виде произведения во времени ваше изменение скорости. Если вы изменили свою скорость в направлении объекта, объект переместится в прошлое, если в обратную сторону, объект переместится в будущее. Каждый раз, когда вы набираете скорость или тормозите, далекие от Земли галактики смещаются относительно вас во времени на величины превышающие срок человеческой жизни. Вот только для того, чтобы зафиксировать этот эффект требуются не только особо точные приборы, но и миллионы лет, пока свет от далеких галактик достигнет Земли. При помощи этой формулы можно определить и то, на какую величину сместится во времени инспектор ДПС из описанного выше примера. Этот промежуток времен будет равен величине 0,00000000000018 секунды. Измерить такой промежуток времени при помощи современных приборов практически невозможно. Для того, чтобы на практике зафиксировать этот эффект необходимо либо двигаться гораздо 1 2cost представьте в виде произведения скорости, разрешенной правилами дорожного движения, либо переместить инспектора на несколько миллионов километров от вас. Правда, и во втором случае, проведение необходимых измерений, все равно останется очень сложной технической задачей. Подобное перемещение во времени не просто кажущееся, в случае с эффектом близнецов, рассмотренным выше, это перемещение было бы вполне реальным. Парадокс близнецов, с точки зрения того брата, который летал в космос, должен выглядеть следующим образом. Когда корабль разгоняется вблизи Земли, Земля, относительно корабля несколько смещается в будущее, на несколько часов или дней, в зависимости от величины ускорения. Смещается в будущее, означает, что время на Земле шло медленнее и события, которые он мог ожидать в определенное время, переместились в еще не наступившее будущее. То же самое происходит и тогда, когда корабль тормозит, приближаясь к Земле. А вот когда корабль с тем же самым ускорением маневрирует вблизи удаленной звезды, событие на Земле, которое космонавт считал происходящим одновременно с ним, очень быстро смещается в прошлое на тридцать лет. И после этого оказывается, что пока на космическом корабле прошло несколько месяцев, на Земле прошло уже тридцать лет. Для того чтобы сместиться во времени относительно Земли на несколько лет, нужно отлететь от нее достаточно далеко и там изменить свою скорость, а затем вернуться обратно. Когда вы точно так же изменяете свою скорость вблизи от Земли, смещения во времени практически не происходит. Вот вам машина времени, которая может переместить вас только 1 2cost представьте в виде произведения одну сторону, в будущее. Но работает эта машина времени в одну сторону, только потому, что для того, чтобы вернуться обратно, нужно ускориться в направлении Земли, а это сместит Землю в прошлое, относительно вас. Вот если бы, для того, чтобы вернуться, нужно было ускоряться в другую сторону, то этот маневр смещал Землю в будущее относительно вас. Тогда бы, у того брата, который летал в космосе прошло бы больше времени, чем у того, который остался на Земле. Когда космонавт разгоняется и тормозится вблизи Земли, с его точки зрения, на Земле проходит несколько месяцев, даже меньше, чем на космическом корабле. Когда космический корабль летит по прямой и без ускорения, с его точки зрения, то есть относительно его системы отсчета, на Земле проходит в два раза меньше времени, чем на корабле. А вот когда, точно так же он тормозится и разгоняется вдали от Земли, у цели своего путешествия, происходит нечто необычное. Он обнаруживает, что за эти несколько месяцев на Земле прошло почти тридцать лет. Ниже приведена схема рассматриваемого полета. Все происходящее изображено в системе отсчета наблюдателя, оставшегося на Земле. Вертикальная прямая A1-A2 обозначает ось времени, с точки зрения наблюдателя с Земли. Поскольку он никуда не перемещается, его положение в пространстве совпадает с этой осью. Горизонтальные линии изображают одновременно происходящие события, как их видит наблюдатель на Земле. Одновременность здесь не означает, что этот наблюдатель сразу видит происходящее. Если некоторое событие прошло одновременно на расстоянии n световых лет от Земли, то сигнал о происходящем достигнет Земли только через n лет. Кривая A1-B-C-D-E-F-A2 показывает перемещение космического корабля в системе отсчета наблюдателя с Земли. Дуга A1-B это участок разгона космического корабля. Если это событие произошло в нескольких световых месяцах от Земли, то радиосигнал достигнет Земли только через несколько световых месяцев. Для 1 2cost представьте в виде произведения, летящего со скоростью близкой к скорости света, понятие об одновременности событий 1 2cost представьте в виде произведения другое. С точки зрения космонавта, на Земле должно пройти немного меньше времени, чем на космическом корабле. На отрезке B-C на космическом корабле прошло около десяти лет. Наблюдатель на Земле считает, что у него в этот момент прошло двадцать лет и время на космическом корабле шло замедленно. А отрезок B-C на прямой A1-A2 показывает, сколько времени прошло на Земле с точки зрения космонавта, С его точки зрения, пока он летел прямолинейно и без ускорения, на Земле прошло всего около пяти лет. А вот теперь космонавт начинает уменьшать свою скорость относительно цели его путешествия и относительно Земли. Дуга C-D показывает участок торможения. В точке D скорость корабля становится практически равной скорости Земли и понятие об одновременности у них полностью совпадают и это показано горизонтальной линией D-D. Вот здесь как раз и начинается самое интересное. С точки зрения наблюдателя с Земли торможение C-D займет несколько 1 2cost представьте в виде произведения. На самом корабле тоже пройдет несколько месяцев. А вот на Земле, с точки зрения космонавта, за это время пройдет целых пятнадцать лет. Причем, эта разница во времени практически не зависит от величины ускорения. Даже если корабль остановится практически мгновенно, эта составляющая разницы во времени останется неизменной - пятнадцать лет. Это разница зависит от расстояния до Земли и разницы в скоростях при изменении системы отсчета. Здесь можно отметить еще и зависимость этой разницы 1 2cost представьте в виде произведения площади фигуры, ограниченной прямой A1-A2 и кривой A1-B-C-D-E-F-A2. От величины ускорения зависит только время, за которое космонавт сменит одну систему отсчета на другую. Дальше все происходит в обратном порядке, пока в течение нескольких месяцев космический корабль набирает скорость в обратном направлении на участке D-E, на Земле, с точки зрения космонавта пройдет еще пятнадцать лет. Затем, пока корабль летит без ускорения на участке E-D в течение десяти лет, с точки зрения космонавта на Земле пройдет пять лет. И наконец, еще несколько месяцев на торможение. В результате, по данным космического путешественника, из сорока лет прошедших на Земле за время полета, тридцать лет приходится на небольшой участок C-D-E, на котором корабль маневрировал возле цели своего путешествия. Вы до сих пор уверенны, что время у быстродвижущегося объекта замедляется? Тогда давайте проведем еще несколько мысленных экспериментов. Как и на прошлом рисунке, прямая A1-A2 показывает наблюдателя с Земли, в системе отсчета которого и выполнена данная схема. Линия B-C-D-E-F показывает траекторию космического корабля. На участке B-C он летит с постоянной скоростью в направлении Земли. На участке C-D начинает ускоряться, уменьшая свою скорость по отношению к Земле. В точке В корабль неподвижен, относительно Земли, затем ускоряется и улетает обратно, участки D-E и E-F. А вот с точки зрения космонавта события развиваются 1 2cost представьте в виде произведения. В момент времени C, 1 2cost представьте в виде произведения тем, как начать торможение, космонавт, используя такие данные, как знание расстояния до Земли и радиосигналы точного времени с Земли, определяет, одновременное с ним событие 1 2cost представьте в виде произведения Земле. После того, как космонавт уравняет скорость космического корабля со скоростью Земли в точке D, он вновь производит измерения и обнаруживает, что то событие на Земле, которое он считал одновременным с собой, точка C, переместилось в еще не наступившее будущее. А теперь, одновременным с ним событием будет событие Затем, корабль ускоряется в обратном направлении и начинает удаляться от Земли со все возрастающей скоростью. В точке E корабль достигает необходимой скорости, и космонавт вновь производит измерения. Теперь, с его точки зрения, одновременное событие, это точка E на прямой A1-A2. Событие D переместилось в еще не наступившее будущее, а событие C переместилось 1 2cost представьте в виде произведения дальше в еще не наступившее будущее. Если данный маневр проводится в нескольких световых годах от Земли, то 1 2cost представьте в виде произведения результате, за те несколько месяцев ускорения корабля по дуге C-D-E, событие C может переместиться в будущее на несколько лет. И здесь речь уже не идет о замедлении времени на космическом корабле в результате действия "гравитации". Скорее уж, наоборот, с точки зрения космонавта, в результате маневра космического корабля замедлилось время на Земле. И даже не замедлилось, а пошло в обратном направлении. Только взаиморасположение Земли и направления ускорения космического корабля. Но, в результате этого изменения, 1 2cost представьте в виде произведения C на Земле, 1 2cost представьте в виде произведения космонавт считал одновременным с событием С на корабле перемещается на несколько лет, но не в прошлое, как в предыдущем примере, а в будущее. Данный маневр не может использоваться как машина времени для перемещения в прошлое уже только по одной причине, свойства нашего 1 2cost представьте в виде произведения таковы, что в результате этого маневра человек не может вернуться на Землю, для того чтобы лично сверить часы. И это не единственная причина. Можно поставить еще один мысленный эксперимент, который позволит исключить маневры вдали от Земли. Можно даже поставить этот 1 2cost представьте в виде произведения в двух разных вариантах, на ваш выбор. В первом варианте необходимо сделать фантастическое предположение о том, что изобретена телепортация, которая позволяет мгновенно переносить объекты из одной точки пространства в другую. Во втором варианте, более прозаичном, просто нужны два разных космических корабля. В первом варианте, космический корабль стартует с Земли, ускоряется, летит прямолинейно и без ускорения десять лет по своим часам, а затем телепортируется. После телепортации, корабль оказывается в другой точке пространства и продолжает двигаться с той же скоростью и в том же направлении. Пусть перемещение будет мгновенным и корабль не перемещается ни в прошлое, ни в будущее, а остается в том же самом моменте, с его точки зрения, то есть, в его собственной системе отсчета. Дополнительно, потребуем, чтобы точка выхода из телепортации находилась на том же расстоянии от Земли, что и точка входа, 1 2cost представьте в виде произведения расположена диаметрально противоположно. Тогда, после выхода из телепортации космонавт обнаружит, что он движется с 1 2cost представьте в виде произведения же скоростью и в том же направлении, но уже не удаляется от Земли, а приближается к ней. Далее, он летит к Земле, тормозит, приземляется и сверяет часы. Однако телепортация это вещь еще совершенно не исследованная, поэтому можно заменить этот эксперимент другим, аналогичным, но без телепортации. Во втором варианте, космический корабль стартует с Земли, ускоряется, летит прямолинейно и без ускорения 1 2cost представьте в виде произведения лет по своим часам. И вот в 1 2cost представьте в виде произведения момент времени, в системе отсчета космонавта, в диаметрально противоположной от Земли точке оказывается другой космический корабль. Этот второй корабль находится от Земли на таком же расстоянии, движется в одну с ним сторону и в том же направлении. Отдельного рассмотрения требует вопрос о том, каким образом, определяется одновременность событий. В первом варианте, что момент входа и момент выхода из телепортации, это один и тот же момент времени. Во втором варианте, что в один и тот же момент времени корабли находились на одинаковом расстоянии от Земли. С точки зрения 1 2cost представьте в виде произведения физики, такая постановка вопроса вообще некорректна, ведь в этой теории время имеет только одно направление. А вот в теории относительности одновременность событий зависит от системы отсчета, поэтому этому вопросу следует уделить особое внимание. Вопрос критерия одновременности событий подробнее будет рассмотрен в следующих 1 2cost представьте в виде произведения. А пока я просто покажу, как это может происходить на практике. Если два корабля летят в пространстве в одном направлении и с одинаковой скоростью, они могут обмениваться радиосигналами, либо они оба могут обмениваться сигналами с третьим вспомогательным объектом. Если корабли обмениваются сигналами, то это может быть так, как показано на рисунке 5. В системе отсчета, к которой относятся оба 1 2cost представьте в виде произведения корабля, они неподвижны относительно друг друга, не приближаются и не удаляются. На рисунке вертикальная ось соответствует 1 2cost представьте в виде произведения, а горизонтальная - расстоянию между кораблями. В точке C корабль A посылает радиосигнал, который в точке E получает корабль B и посылает ответный сигнал, который достигает корабль A в точке Разделив интервал времени пополам, наблюдатель A может определить момент времени G, которую может считать одновременным событию Еще один, более точный, способ определения одновременности связан с использованием третьего объекта, который посылает и принимает радиосигналы. При помощи этого третьего объекта может быть произведена достаточно точная калибровка времени. Для двух космических кораблей, которые движутся с большой скоростью относительно Земли, но неподвижны относительно друг друга, таким источником может быть третий корабль, который неподвижен в их системе отсчета. То есть, этот третий корабль должен лететь с той же скоростью и в том же направлении, что и два первых, относительно Земли. Для упрощения, можно предположить, что и расстояние от каждого из первых двух кораблей до третьего одинаково. Земля, как объект, движущийся со скоростью близкой к скорости света, относительно системы отсчета кораблей, в качестве источника калибровочных импульсов не может быть использован. Анализируя ответы на свои сообщения, наблюдатель на третьем корабле может с большой точностью определить, что корабли A и B находятся от него на равном расстоянии и неподвижны. Так же, он может определить, что события G и E 1 2cost представьте в виде произведения одновременно. То, что для того, чтобы произвести нужные измерения понадобится несколько десятков лет, это уже следствие больших расстояний. После выхода из телепортации в первом варианте или синхронизации часов во втором, корабль летит еще десять лет до Земли, снижает свою скорость, приземляется и космонавты сверяют часы. И что же они обнаружат? В сумме, от момента взлета первого корабля с Земли до посадки второго прошло в сумме двадцать лет, а на Земле всего десять. С точки зрения космонавтов время замедленно шло именно на Земле. Вот как произошедшие события выглядит с точки зрения наблюдателя на Земле. На этой схеме в точке A космический корабль стартует с Земли, в точке B достигает расчетной скорости и далее, до точки C летит по прямой и без ускорения. С точки зрения космонавта, расстояние 1 2cost представьте в виде произведения равно десяти годам. С точки же зрения наблюдателя с Земли это путешествие заняло около двадцати лет. В точках C и D космонавты на разных кораблях синхронизируют свои часы, или корабль телепортируется из точки C в точку Хотя, с точки зрения 1 2cost представьте в виде произведения с Земли, 1 2cost представьте в виде произведения D произошло еще до старта 1 2cost представьте в виде произведения Земли первого корабля, а событие C произошло уже после посадки второго корабля на Землю, с точки зрения обоих космонавтов события C и D происходят одновременно. С точки зрения наблюдателя с Земли событие C и D разделяют 40 лет. С точки зрения космонавтов разницы во времени между этими событиями нет. И эту точку зрения мог бы подтвердить независимый наблюдатель, летящий с той же скоростью и в том же направлении, что и оба корабля. На Земле с момента старта первого корабля до момента посадки второго проходит около десяти лет, отрезок AF. С точки зрения космонавтов, путь BC занял десять лет, событие C и событие D происходят одновременно, а затем, путь DE занимает еще десять лет. Итого, в сумме двадцать лет. Как видите, эксперимент, поставленный космонавтами, показывает, что замедлялось время на планете Земля, а вовсе не на космических кораблях. Ну что же, пора начинать разбираться с происходящим. Пространство и время 2. Это не вполне верно, действительно, для описания этого пространства-времени нужны, как минимум, четыре переменные, но они не являются независимыми друг от друга. Для того чтобы подчеркнуть этот факт, физики используют слово континуум: пространственно-временной континуум. В пространственно-временном континууме нет того количества степеней свободы, которыми должно обладать полноценное четырехмерное пространство. Это далеко не евклидово четырехмерное пространство, это совсем другая геометрия, которая и четырехмерной на самом деле не является. Одной из моделей такого пространства, которую активно используют в теории относительности, является геометрия математика Германа Минковского, учителя Альберта Эйнштейна. Одна из самых важных фигур в Евклидовой геометрии это окружность, по определению, множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центра. Символ const в математике применяется для обозначения постоянных величин - констант. Соответственно, изменяются правила сложения катетов треугольников, а место окружности занимает гипербола. Несмотря на внешнее сходство с Евклидовой геометрией, на самом деле, геометрия Минковского в еще большей степени неевклидова, чем неевклидовы геометрии открытые Лобачевским и Риманом. Об этих геометриях мы еще поговорим. Когда мы используем декартовы координаты, возникает иллюзия, что эти геометрии похожи. А вот если перейти в радиальные координаты, то есть в координаты, в которых верно отображаются расстояния от центра до любой из точек пространства, картинка станет совсем другой. При таком способе изображения искажаются многие другие вещи, но становится отчасти понятно, насколько 1 2cost представьте в виде произведения геометрия отличается от евклидовой геометрии. Подобные искажения неизбежны, когда мы хотим на евклидовой плоскости изобразить неевклидову геометрию. Первое отличие, на которое я предлагаю обратить внимание, заключается в том, что в радиальной системе координат прямой отрезок AB, изображенный, кстати, и на предыдущем рисунке, выглядит как кривая линия, на пределе стремящаяся к точке Следует отметить, что в данном представлении, не искажаются по форме и размерам только прямые линии, которые проходят через точку Все остальные линии будут выглядеть искаженными. Представление геометрии Минковского в декартовых координатах на евклидовой плоскости тоже невозможно без искажений. Но, в этом случае, прямые линии выглядят как прямые, и только искажается длина прямых линий, проходящих под углом к оси y. В радиальной системе координат, линия, которая является гиперболой в евклидовой геометрии и выглядит как гипербола в декартовых координатах, совершенно 1 2cost представьте в виде произведения показана как дуга окружности. На схеме совершенно точно отображается тот факт, что расстояние от точки O до любой из точек этой окружности, равно постоянной величине. Вот только в геометрии Минковского свойства этой окружности отличаются от свойств окружности в евклидовой геометрии. Во-первых, эта окружность разбита на два не связанных между собой участка CD и EF. К тому же, длина каждого из этих участков стремится к бесконечности. Еще одно отличие геометрии Минковского от евклидовой геометрии в 1 2cost представьте в виде произведения, что здесь расстояние между двумя различными точками может быть действительным положительным числом, может быть равно нулю, и может быть мнимым положительным числом. Вернемся к декартовой системе координат. Здесь квадрат целого числа x B 2 - положительное число, но оно умножено на минус единицу, следовательно, квадрат числа RAB2 будет числом отрицательным, а расстояние может быть только мнимым числом. В качестве краткой справки. Из школьного курса математики можно узнать, что если любое действительное число умножить само на себя, то в результате получится положительное действительное число или ноль. Здесь символом R обозначено множество действительных или вещественных чисел. При решении ряда уравнений математикам приходилось сталкиваться со случаями, когда квадрат действительного числа оказывался равным отрицательной величине. Для таких случаев были 1 2cost представьте в виде произведения мнимые числа, их отличительной особенностью является то, что квадрат такого числа равен отрицательному действительному числу. Обычно мнимые числа обозначаются при помощи множителя i, который называется мнимой единицей. В ряде уравнений встречаются числа, которые являются суммой числа действительного и числа мнимого. Такие числа называют комплексными, и они широко используются в теории электротехники и радиосвязи. Используются комплексные числа и в теории относительности. Еще одной особенностью геометрии Минковского является существование пар различных точек, расстояние между которыми равно нулю. Вот, например координатная ось x, проходящая через точку O, и параллельная ей прямая проходящая через точки A и B, это, несомненно, две разные прямые. Лежащие на этих прямых точки, это разные точки. Тем не менее, расстояние между точками O и 1 2cost представьте в виде произведения равно нулю. Расстояние от точки O до точек расположенных ближе к оси t y чем штрихпунктирная линия, как, например, до точки C рис. Расстояние от точки O до точек расположенных ближе к оси x будет мнимым положительным числом. Расстояние от точки O до любой из точек, расположенных на штрихпунктирной линии, равно нулю. Геометрия Минковского имеет еще целый ряд особенностей, но они будут рассмотрены в рамках теории относительности. Система координат включает в себя понятие о начале координат, координатных осях и единицах измерения расстояния и времени. Конечно, это еще не все. Существуют разные типы координатных систем, прямоугольные декартовы, непрямоугольные, сферические, цилиндрические. Но это уже детали, как и способы измерения времени, расстояний и скоростей. Одной системе отсчета может соответствовать бесконечное число различных систем координат. Объекты, которые движутся в одном направлении и с одинаковой скоростью, то есть, которые неподвижны в пространстве относительно друг друга, принадлежат к одной системе отсчета. Различные наблюдатели, которые находятся в разных точках пространства, но принадлежат к одной системе отсчета, могут использовать разные системы координат. Различные наблюдатели могут принимать за начало координат различные события, события, которые расположены в разных моментах времени и в разных точках пространства. Различные наблюдатели могут различным образом располагать направления в пространстве, которые они принимают за координатные оси. Они могут применять различные единицы измерения 1 2cost представьте в виде произведения и расстояний в пространстве. Объединяет все системы координат, принадлежащих к одной системе отсчета то, что координатные оси времени у них всех параллельны. Для того чтобы перейти в другую систему отсчета, достаточно изменить скорость или направление движения. Объекты, которые движутся в разных направлениях и с разными скоростями, то есть движутся относительно друг друга, принадлежат к различным системам отсчета. Наблюдатели, которые принадлежат к различным системам отсчета, различным образом располагают оси времени. Оси времени, которые принадлежат к различным системам отсчета, располагаются под углом друг к другу. Кроме того, наблюдатели, которые принадлежат к разным системам отсчета, различным образом определяют одновременность событий, пространственные и временные промежутки между различными событиями. В числе этих источников следует отметить преобразования Лоренца, упомянутую выше геометрию Минковского и принципы относительности Галилео Галилея. Заслуга Эйнштейна заключается в том, что он распространил принципы относительности Галилея на явления, связанные с распространением света, использовал при этом геометрию Минковского и преобразования Лоренца. В том варианте геометрии Минковского, который использован в теории относительности, точки в пространстве-времени называются событиями, учитывая, что все события происходят не только в пространстве, 1 2cost представьте в виде произведения и в определенный момент времени. Так что в теории относительности, полет космического корабля, это линия соединяющая событие A и событие Для определения расстояния между событиями в пространственно-временном континууме используется величина, которая называется интервал. Коэффициент с 2 нужен для того, чтобы перевести размерность квадрата времени в размерность квадрата расстояния. То есть, величина интервала между двумя событиями в теории относительности определяется по тем же правилам, что и расстояние между точками в геометрии Минковского. Разберемся в том, какой физический смысл имеет эта величина. Сформулируем этот вывод в виде определения: если величина интервала является действительным положительным числом, то он равен расстоянию между событиями в той системе отсчета, в которой эти события произошли одновременно. В том случае, когда интервал является положительным мнимым числом, то его можно определить иначе. Следовательно, в этом случае интервал можно определить так: если величина интервала является мнимым положительным числом, то он по абсолютной величине равен расстоянию, которое пройдет свет за время, разделяющее два события в той системе отсчета, в которой они произошли в одной точке пространства, но в разное время. В теории относительности часто называют величину интервала инвариантом, то есть, на обычном языке, величиной, которая остается постоянной в любой системе отсчета. Физический смысл этого инварианта таков. Вы сидите на поверхности астероида измеряете линейкой расстояние между двумя точками. Результат ваших измерений никак не должен зависеть от того, с какой скоростью и в каком направлении пролетают мимо вас космические корабли. Если два события A и B расположены так в пространственно-временном континууме, что свет, испущенный в событии A, приходит в некоторое событие B, то интервал между этими событиями равен нулю. На рисунке 12 множество событий, интервал между которыми и некоторой точкой O равен нулю, условно обозначен в виде конуса. Он так и называется в теории относительности - световой конус. Это изображение условно, потому, что на самом деле поверхность светового конуса, который окружает область, показанную серым цветом, это не окружность, а поверхность сферы. Световой конус, построенный от некоторой точки O, делит пространственно-временной континуум на три отдельные области. Выше точки O внутри светового конуса расположено множество событий, которое называется областью абсолютного будущего по отношению к событию Ниже точки O внутри светового конуса расположено множество событий, которое называется абсолютным прошлым по отношению к событию Множество событий, которое расположено вне светового конуса называется пространственной областью, по отношению к событию Очень важный факт, которому в учебниках по теории относительности не всегда уделяют достаточного внимания, состоит в том, что при переходе в любую другую систему отсчета события, относящиеся к пространственной области, сместятся, но останутся в пространственной области. События, относящиеся к области абсолютного будущего, при переходе в любую другую систему отсчета сместятся, но останутся в области абсолютного будущего. События, 1 2cost представьте в виде произведения к области абсолютного прошлого, при переходе в любую другую систему отсчета, сместятся, но останутся в области абсолютного прошлого. События расположенные на поверхности светового конуса, относительно события O, при переходе в любую другую систему отсчета останутся на поверхности светового конуса. Интервал между событием O и любым событием, расположенным на поверхности светового конуса равен нулю. А это означает две вещи, согласно данным выше определениям интервала. Первая состоит в том, что для наблюдателя движущегося со скоростью света расстояние между событием O и событием, расположенным на световом конусе, стремится к нулю. Вторая состоит в том, что для наблюдателя движущегося со скоростью света время, которое потребуется для преодоления расстояния между событием O и событием, расположенным на поверхности светового конуса, должно стремиться к нулю. Конечно, с точки зрения квантовой физики, временной промежуток и пространственный промежуток не могут быть одновременно определены как равные нулю, согласно принципу неопределенности Гейзенберга. Так что, можно рассматривать модели, в которых интервал между точкой O и событием, расположенным на поверхности светового конуса, равен не нулю, а очень малой комплексной величине. В этой комплексной величине мнимая часть соответствовала бы временной составляющей, а действительная - пространственной. Но это, хотя и позволяет устранить эффект "короткого замыкания" между разными событиями, уже выходит за рамки классической теории относительности. Так, любое событие, расположенное, а области абсолютного прошлого, по отношению к событию O, потенциально может быть причиной того, что событие 1 2cost представьте в виде произведения произошло. Например, это может быть событие, в котором некий электрон столкнулся с атомом, затем атом перешел в возбужденное состояние, а потом испустил квант света, который достиг точки В любом случае, наблюдатель в точке O потенциально может иметь информацию о событиях, произошедших в области абсолютного прошлого и на поверхности светового конуса, окружающую область абсолютного прошлого. По крайней мере, все события, которые повлияли на событие O, должны были находиться в области абсолютного прошлого. В то же время, событие O никак не может быть причинной процессов и событий, происходящих в области абсолютного прошлого. Событие O потенциально может быть причинной событий, расположенных в области абсолютного будущего. По крайней мере, все события, причинной которых станет событие O, должны располагаться в области абсолютного будущего. Любое сообщение, посланное из точки O, станет известно только в области абсолютного будущего относительно события На рисунке 13 в схематической форме показано, как могут быть связаны между собой причинно-следственными связями ряд событий. Событие A вызывает событие B, которое, в свою очередь является причиной события Таким образом, событие B является непосредственной причиной события O, а событие А является непосредственной причиной события B 1 2cost представьте в виде произведения косвенной причиной события Но при любом раскладе, события A и B должны быть расположены в абсолютном прошлом, по отношению к точке Событие O тоже может быть причиной еще ряда событий, например события C и Оба эти события обязательно должны располагаться в области абсолютного будущего, по отношению к событию Любые события, которые расположены в пространственной области относительно друг друга, как события O и B на рисунке 14, не могут быть причинной или следствием друг друга. Никакая информация из точки O не может попасть в точку B, и никакая информация из точки B не может попасть в точку Перемещение со скоростью, превышающей скорость света, было бы нарушением этого принципа. Можно показать, что для любого перемещения со скоростью превышающей скорость света можно подобрать такую систему отсчета, в которой это движение будет являться перемещением из будущего в прошлое. И если придерживаться одного из основных принципов теории относительности о том, что все инерциальные системы равноправны, то совмещая переходы из одной системы в другую и движение со скоростью превышающей скорость света, можно организовать движение из будущего в прошлое. Однако еще раз хочу отметить, что, согласно теории относительности, такое невозможно. Несмотря на то, что события O и B не могут являться причиной или следствием друг для друга, они могут иметь некоторую общую причину в области абсолютного прошлого для обоих этих событий. На рисунке 14 эта область, в которой расположена точка A и которая показана серым цветом. События O и B могут также иметь общее следствие, точки C и D, расположенные в области абсолютного будущего для событий O и На рисунке 14 эта область показана серым цветом и в ней расположены события C и Предположим, что вам предлагается выбрать, как назвать две линии. Одну из них вы можете провести карандашом по бумаге, с ней понятно, взяли линейку, карандаш и провели. А вот вторая линия является бесконечной последовательностью точек, которые никак не связанны друг с другом, и разбросаны по определенному алгоритму в 1 2cost представьте в виде произведения. Какие бы инструменты вы ни применяли, технически провести такую линию вы не сможете, хотя в математике есть подобные функции. И вот теперь, ответьте на вопрос, какую из этих двух линий вы назовете действительной, а какую мнимой? Я бы назвал действительной ту, которую физически можно провести, а мнимой, или воображаемой, ту, которая может быть проведена только теоретически. 1 2cost представьте в виде произведения вот теперь давайте вернемся к теории относительности. Но математики таких длинных записей не любят, скорее они запишут эту формулу вот так: Этот символ в школе не изучают, а я обещал, что школьных знаний будет достаточно, поэтому объясняю его. В теории относительности часто используют тензорное исчисление, в котором символы сигма должны были бы появляться много раз в каждой формуле, поэтому, математики договорились их вообще не использовать, просто подразумевая, что они есть. И всем математикам понятно, что в этой формуле нужно не просто найти квадрат разности двух чисел, а суммировать три слагаемых, каждое из которых является квадратом разности двух чисел. Вот только для того, чтобы сократить запись, в данную формулу требуется тоже внести ряд изменений. Во-первых, перед четвертым слагаемым должен быть знак плюс, а не минус. Это вполне согласуется с тем, что промежутки времени в формуле интервала оказываются равными мнимым числам, как это было отмечено выше. Следует только помнить, что величины пространственных координат b 1, a 1, b 2, a 2, b 3,и a 3 выражаются действительными числами, а координаты соответствующие моментам времени b 4 и a 4 выражены мнимыми числами. Можно относиться к этим формулам, как к абстрактным символам, но за ними стоит определенная философия, определенная форма восприятия мира. И в той форме восприятия окружающей реальности, которую диктует нам теория относительности в своем классическом изложении, пространство отображается действительными величинами, а время мнимыми величинами. И в этом есть определенный смысл, пространство представляется вполне материальным и видимым, а время представляется некой вечно ускользающей фикцией, которая служит лишь мерой изменчивости окружающей нас реальности. Но такой подход к восприятию реальности это тоже предрассудок, доставшийся в наследство от классической физики. То, что мы привыкли воспринимать как окружающее нас пространство, на самом деле является смесью пространства и времени. Уже просто потому, что любое восприятие, это процесс, который требует определенного времени. Человек не может воспринимать пространство, отделенное от времени. Но у людей есть воображение, и они могут себе представить себе пространство, лишенное времени. Обычно люди представляют себе такое пространство как застывшую трехмерную картинку. Все остановилось, и наблюдатель ходит и рассматривает застывшие в пространстве фигуры. На самом деле, все 1 2cost представьте в виде произведения не так. Есть ограничения связанные с законами причинности в пространственно-временном континууме. Когда мы представляем себе пространство, остановленное в определенный момент времени, то должны понимать, что оно лишено не только движения, но и причинно-следственных связей между любыми расположенными в нем 1 2cost представьте в виде произведения. В остановленном в определенный момент времени пространстве мы не можем послать сигнал из одной точки пространства, а другую. И не просто потому, что для этого требуется сигнал, движущийся быстрее скорости света, а потому, что в таком пространстве нарушаются все физические связи между отдельными его точками. Это не свойство среды, которая не пропускает сигнал со скоростью выше скорости света, речь идет о нарушении топологической связи между точками пространства. В трехмерном евклидовом пространстве можно нарисовать линию и на этой линии соседние точки будут связаны между собой. Остановленное физическое пространство будет очень похоже на евклидово трехмерное пространство, но оно топологически будет состоять из бесконечного множества не связанных между собой точек. В таком пространстве провести линию из одной точки в другую невозможно. Но, тем не менее, в таком пространстве можно найти множество точек, которые не будут между собой связаны, но, тем не менее, они могут быть отображены на евклидово пространство, как действительная линия. И при их отображении на действительное евклидово пространство, они превратятся в действительную линию, в связанную последовательность точек. Есть лишь один способ вдохнуть в остановленное пространство жизнь и связать его точки между собой - добавить к нему время. Только в присутствии времени, отдельные точки пространственного сечения пространственно-временного континуума оказываются топологически связаны между собой, и между ними можно будет провести линию. Более того, для того, чтобы провести линию между двумя событиями в пространственно-временном 1 2cost представьте в виде произведения движение в пространстве совсем не обязательно. Нужно только время, а точка в пространстве может быть неподвижна. И получается, что в математическом аппарате теории относительности действительными считаются линии, которые физически невозможно провести. В то же время линии, которые соответствуют движению физических частиц, считаются мнимыми. В результате такого подхода возникает иллюзия, что ограничения в скорости движения света, это свойство самого света или эффект взаимодействия света с пространственно-временным континуумом. И еще, в результате этого подхода возникает иллюзия того, что для достижения сверхсветовых скоростей 1 2cost представьте в виде произведения всего лишь особые частицы - 1 2cost представьте в виде произведения. Тот факт, что любое сечение пространственно-временного континуума, при котором точки попадают в пространственную область по отношению друг к другу, является множеством топологически не связанных между собой точек, обычно игнорируется. В этой работе описываются эффекты теория относительности, такие, как например, эффект близнецов. Если человечество решит стоящие перед ним проблемы, социальные, экономические, политические и много других, то, через сотню другую лет, проблема путешествий к другим звездам станет не теорией, а реальной, стоящей перед человечеством задачей. Но я не верю, что подобное путешествие будет происходить так, как это описано в парадоксе близнецов. Путешествие, даже к ближайшим звездам, по этому сценарию должно происходить в течение десятков лет. И такой полет, по своей сложности и опасностям будет подобен попытке переплыть Тихий Океан по экватору на байдарке. Кроме того, за те годы, которые космонавты проведут в полете, возникнет множество новых научных теорий и технологий. Я думаю, что раньше, чем человечество будет способно на такой подвиг, будут открыты другие способы движения в пространстве, в том числе, связанные с изменением свойств самого пространства и движение будет происходить со скоростями во много раз превышающими скорость света. А для этого необходимо, как минимум, вначале точно сформулировать стоящие задачи. В том числе осознать тот факт, что при попытке движения со скоростью выше скорости света, 1 2cost представьте в виде произведения основам теории относительности, само пространство перестает быть топологически связанным. Тогда задача движения со скоростью быстрее скорости света превращается в задачу о том, как сделать отдельные точки пространства связанными между собой при таком движении. В этой топологии через некоторую точку пространства можно провести бесконечное количество действительных прямых линий - направлений, в которых могут двигаться физические частицы. Когда вдоль одной из таких прямых линий в пространственно-временном континууме движется наблюдатель, в его системе отсчета эта линия является направлением оси времени. Для наблюдателя в другой системе отсчета это направление будет другим. На рисунке 15 изображен пучок действительных прямых, проходящих через точку Это направления, в которых могут двигаться частицы. Каждому направлению времени будет соответствовать определенная система представлений о событиях происходящих одновременно - пространственное сечение. Любое пространственное сечение в этой топологии является мнимым трехмерным пространством. На рисунке 16 одной из осей времени t, проходящей через событие O, соответствует пространственное сечение XYZ. По сути, это пространственное сечение является множеством всех событий, которые происходят одновременно с событием O, с точки зрения наблюдателя, движущегося в пространственно-временном континууме по или параллельно оси t. Наблюдатели, движущиеся в других направлениях в пространственно-временном континууме, построят множество событий, одновременных с событием O, совершенно иначе, пространственное сечение будет совсем иным. Ни одна пара точек, входящих в пространственное сечение, не может быть связанна между собой сигналами, не могут быть причинной или следствием друг для друга, и вообще эти точки не связаны ни 1 2cost представьте в виде произведения, ни топологически. Еще раз подчеркиваю, любое пространственное сечение в пространственно-временном континууме, это бесконечное множество топологически не связанных между собой событий-точек. Если начать двигать пространственное сечение во времени, то можно обнаружить, что многие из 1 2cost представьте в виде произведения расположены очень близко друг к другу и взаимодействуют между собой. Но это только в присутствии времени. Раз за основу топологии взяты оси времени, то и расстояния между событиями придется измерять в единицах времени. Физический смысл интервала времени между событиями A и B таков. Если интервал времени это целое положительное число, то он равен времени, которое потребуется некоторому объекту для того, чтобы переместится из события A в событие B, двигаясь прямолинейно и без ускорения, по часам самого этого движущегося объекта. Если интервал времени это мнимое положительное число, то по абсолютной величине он равен времени, которое потребуется кванту света для того, чтобы преодолеть расстояние в пространстве между событиями A и B, в той системе отсчета, в которой эти события произошли одновременно. Вот, например, на рисунке 17 изображена система отсчета наблюдателя, который движется из события B в событие Для этого наблюдателя события B и C происходят в одной и той же точки пространства, но в разные моменты времени. И еще, в его системе отсчета события A и B происходят одновременно. Для него интервал времени между точками B и C равен времени, по его собственным часам, между событиями B и Разница во времени между событиями A и B, которые произошли одновременно в данной системе отсчета, будет равна нулю. Интервал времени между событиями A и B будет равен мнимой величине, которая по абсолютному значению равна времени, за которое свет преодолеет расстояние между точками A и Не путайте термины разница во времени интервал времени, это разные вещи. При этом квант света физически не может переместиться между событиями A и B, и перемещается между событиями A и В выбранной системе отсчета это будет выглядеть как перемещение из точки A в точку B, но переместившуюся во времени. Естественно, интервал времени между событием "космонавт пролетает мимо звезды альфа" и событием "тот же самый космонавт пролетает мимо звезды бета", будет равен разнице во времени по часам самого космонавта. Для наблюдателя с Земли разница во времени между этими двумя событиями будет равна совсем другой величине. Основы топологии времени 3. Пусть также, пролетев определенное время по своим часам, эти частицы излучают квант света. Согласно классической физике, в которое время течет во всей вселенной одинаково, все частицы должны послать фотон совершенно одновременно, для любого из наблюдателей. В теории относительности, излучение фотонов частицами должно будет происходить в разные моменты времени. И для любого из наблюдателей, в любой из систем отсчета, то есть, движущегося в любом направлении и с любой скоростью, происходящее будет выглядеть так, как это изображено на рисунке 18. Множество событий S в пространственно-временном континууме соответствуют моментам времени и положению в пространстве частиц, когда они испускали квант света в приведенном выше примере. Фигура, которую это множество образует в прямоугольных декартовых координатах, называется гиперболоидом. 1 2cost представьте в виде произведения, нужно понимать, что на схеме эта фигура изображена упрощенно, только в координатах x, y и t. В таком виде она выглядит как расширяющаяся во 1 2cost представьте в виде произведения окружность. Если эту фигуру изобразить полностью, в координатах x, y, z и t, то она будет выглядеть как расширяющаяся во времени сфера. Но такое изображение сложно для восприятия. В показанной на рисунке системе отсчета раньше всех пошлет сигнал та частица, которая в этой системе отсчета неподвижна, а движущиеся частицы подадут свои сигналы позже. Однако то же самое можно сказать и про любую другую систему отсчета. Даже наблюдатель, который будет двигаться со скоростью близкой к скорости света в первой системе отсчета, например, вдоль оси t', будет видеть точно такую же картинку. Но при этом форма и размеры поверхности S не изменятся рис. Вся разница только в том, что по центру вместо оси t во второй системе отсчета расположится ось t', 1 2cost представьте в виде произведения угол φ между осями останется прежним. Да еще пространственные оси 1 2cost представьте в виде произведения, y и z будут заменены на другие: x', y' и z'. Список удивительных особенностей данной поверхности на этом далеко не исчерпывается. Стоит только упомянуть хотя бы некоторые из них. Например, то, что если мы перейдем в радиальные координаты, как делали выше в геометрии Минковского, окажется, что множество событий S это часть сферы, центром которой является событие O рис. На этом рисунке видно, что множество S это часть сферы. Правда эта сфера сильно отличается от сферы в евклидовом пространстве. Какое пространство, такая и сфера. Дуга от края до края показанной части сферы S имеет бесконечную длину и, кроме этого имеет мнимую величину. Если же нас заинтересует внутренняя топология этого множества точек, то окажется, что это пространство с отрицательной кривизной с радиусом Почти что, то самое неевклидово пространство, которое было открыто Лобачевским. Пространство, в котором сумма углов треугольника меньше 2π. В евклидовом пространстве свойствами, подобными этому пространству, обладает фигура, которую принято называть седловина рис. От пространства открытого Лобачевским это пространство отличается тем, что в данном пространстве все линии мнимые. И это еще не все, а только самые очевидные необычные свойства этой "сферы". Однако давайте вернемся к тому фейерверку, который мы устроили. После того, как первые из частиц, двигающихся из события O, испустят фотоны, сфера начнет очень быстро расширяться. Очень быстро, это означает, что в самом начале эта скорость бесконечно велика, затем в тысячи, в сотни и в десятки раз больше скорости света. Постепенно эта скорость уменьшается, стремясь к скорости света, но всегда оставаясь больше скорости света. Подобное явление не противоречит теории относительности, ведь быстрее скорости света движется не физический объект, а волна, причем вызванная событием в точке Никакая пара событий, расположенных на поверхности S, не может быть связана между собой физически или топологически, никакая из пар этих событий не может быть причинной или следствием друг для друга. Уместна аналогия с другим явлением. Если вы посветите мощным лазером или радиолучом на расположенное далеко в космосе пылевое облако, то небольшой поворот этого луча вызовет движение "зайчика" со скоростью в сотни раз превышающее скорость света. Но это не означает, что некоторое сообщение может перемещаться из одной освещенной "зайчиком" области в другую со скоростью выше скорости света. Это лишь означает, что сигнал с Земли может одновременно достигать различных удаленных друг от друга областей. Для чтения они не обязательны, но могут быть полезны для понимания дальнейшего материала. Если вы еще помните школьную геометрию и функции синус и косинус, ничего сложного для вас здесь не будет. Такие функции 1 2cost представьте в виде произведения гиперболический синус sh 1 2cost представьте в виде произведения и гиперболический косинус ch φ во многом похожи на гармонические функции синус 1 2cost представьте в виде произведения φ и косинус cos φ. Видите, на самом деле, гиперболические функции даже проще функций синус и косинус, которые изучаются в школе. При вычислении гиперболических функций не нужно возводить основание натурального алгоритма в степень мнимого числа, а затем результат делить на мнимую единицу. Все действия производятся только с 1 2cost представьте в виде произведения числами. Но конечно, если вы захотите пользоваться этими функциями, лучше всего приобрести инженерный калькулятор, или скачать из интернета на компьютер программу калькулятор, на котором они есть. Графически гиперболические и гармонические функции конечно различаются. Если функции синус и косинус периодические рис. Здесь i, естественно, мнимая единица. Один из них заключается в том, что вся окружность разбивается на 360 одинаковых частей - градусов. Вершина угла, величину которого необходимо измерить, совмещается с центром окружности, и определяют, сколько 360-х долей окружности - градусов попадает в створ угла. После Великой Французской революции, когда казнили королей и разрушали тюрьмы, было модно менять все на новое. Меняли названия месяцев, вводили новые стандарты измерения физических величин. Некоторые из этих новых веяний прижились, мы до сих пор пользуемся принятым в те годы стандартными метром и килограммом. Тогда же было предложено делить окружность не на 360 частей, а на 400, то есть, было предложено прямой угол делить на 100 частей - привести измерение углов к десятичной системе исчисления. Одной четырехсотой длины окружности дали название град, но широкого распространения эта система измерения углов не получила. В астрономии используется способ измерения углов связанный с принятой системой измерения 1 2cost представьте в виде произведения. В этой системе окружность делится на 24 часа, каждый час на 60 минут, минута на 60 секунд. Но эту систему измерения углов никто кроме астрономов и штурманов не использует. Еще один способ измерения углов широко используется математиками. 1 2cost представьте в виде произведения этой системе, для измерения угла, вокруг его вершины проводят окружность произвольного радиуса, измеряют длину дуги L, попавшей в створ угла, и находят отношение этой длины дуги к радиусу окружности R рис. Величину угла можно рассчитать, зная проекции его сторон на координатные оси. Для этого, вначале нужно построить координатные оси, например прямоугольную систему координат. Построить такую систему координат в евклидовой геометрии вполне можно не используя ни один из описанных выше способов, используя только циркуль и линейку. Древние греки для этого вместо линейки вообще использовали натянутую веревку. Один из способов такого построения изображен на рисунке 25. Технология этого построения такова. Вначале у нас есть некоторая прямая a и точка O, расположенная на этой прямой. Прямую a мы хотим использовать в качестве координатной оси, а точку O в качестве начала координат. Используя циркуль, отмечаем на прямой a точки A и B, лежащие на одинаковом расстоянии от точки Затем, увеличив радиус циркуля, проводим две дуги с центрами в точках A и B, так, чтобы эти дуги пересеклись в двух точках C и Проводим через точки C и D прямую b которая будет второй координатной осью, расположенной под 1 2cost представьте в виде произведения углом к первой координатной оси. Проверкой точности построений может служить то, что точка O должна оказаться на прямой b. Имея прямоугольную систему координат можно рассчитать угол 1 2cost представьте в виде произведения координатной осью и любой другой прямой, используя формулы зависимости отношений катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника от величины его углов. Чтобы не слишком усложнять материал, предположим, что одна из сторон угла совмещена с координатной осью x, а вершина угла совмещена с началом отсчета O рис. Начать можно с того, что измерять углы ни в градусах, ни в градах, ни в единицах времени не получится. Причина этого в свойствах той линии, которая выглядит в прямоугольных декартовых координатах как гипербола, а на деле является частью окружности, все точки которой расположены на одинаковом расстоянии от некоторой точки - центра. Длина этой линии бесконечно велика и даже если разделить ее не на 360 или 400 частей, а на 360 миллионов частей, длина каждой части все равно будет бесконечно велика. А вот измерение углов в радианах, в этой геометрии возможно. Можно измерить длину дуги, хотя она и будет мнимым числом, и разделить ее на радиус окружности. Все точно так же, как это было в евклидовой геометрии. Еще, можно рассчитать величину угла, зная координаты лежащих на нем событий. Вот, например, на рисунке 26 в декартовой прямоугольной системе координат представлена схема в системе отсчета для наблюдателя, для которого события O, D и B происходят в одной точке пространства, но в разное время. Для этого же наблюдателя одновременно происходят события B и A, а также одновременно происходят события O и Смысл этой записи в том, что мы заменяем мнимое число равным ему по абсолютному значению действительным числом. Однако при такой записи, эту формулу можно было бы спутать с формулой окружности в евклидовом пространстве. Имеет смысл еще раз подчеркнуть, что мы имеем дело не с евклидовой геометрией, и, когда мы пытаемся изобразить происходящее на плоском евклидовом листе бумаги, все наклонные линии оказываются искаженными. Хотя они и остаются при этом прямыми, их размер значительно увеличивается. Если посмотреть на ту же самую схему в радиальной системе координат, которая верно отображает модуль интервала времени от начала отсчета до любого другого события, мы получим схему, представленную на рисунке 27. На этой схеме уже не так очевидно, что в этой системе отсчета события B и A произошли одновременно, зато видно, что интервалы времени OD и OA одинаковы. Мнимая прямая линия BA, параллельная оси r, в радиальной системе координат выглядит как кривая, постепенно загибающаяся в сторону события Да и действительная прямая AC, параллельная оси t, превратилась в ломанную кривую, состоящую из двух сегментов, вначале она по дуге устремляется к событию O, а уже потом, от события O по дуге идет к точке При этом, событие C оказывается смещенным несколько правее от оси t, чем событие К сожалению, не существует способа перенести неевклидову геометрию на плоский лист бумаги без искажений. Однако вернемся к схеме на рисунке 26. В данном случае символ φ используется для того, чтобы показать, что мнимая величина φ заменяется равной ей по абсолютному значению действительной величиной, но с учетом знака. То есть, положительное мнимое число заменяется на положительное действительное, а отрицательное мнимое на отрицательное действительное. Учитывая, что катет 1 2cost представьте в виде произведения это промежуток времени между событиями O 1 2cost представьте в виде произведения A в системе отсчета t, а катет BA - расстояние между событиями O и A в пространстве, а величина угла φ это отношение длины мнимой дуги DA к действительному радиусу T, в эти формулы можно ряд изменений. Но где вы встречали калькулятор, извлекающий косинус из мнимого числа? Аналогично обстоит дело и со вторым катетом, с катетом BA, расстоянием в пространстве между событиями O и A в системе отсчета t. Обратите внимание, здесь скорость, как отношение мнимой величины к действительной, тоже величина мнимая. На практике, используя эти соотношения, можно определить какой промежуток времени пройдет на космическом корабле, который движется со скоростью v OA, пока на Земле пройдет время t OB, естественно, в системе отсчета землянина: Это аналог классической формулы теории относительности: При желании, одну формулу можно вывести из другой. И результат вычислений будет тот же самый. Теперь остается открытым вопрос 1 2cost представьте в виде произведения том, действительно ли в этой геометрии, как и в евклидовой, величина угла φ равна отношению длины дуги DA, попадающей в створ угла к радиусу окружности в декартовых координатах - гиперболы T рис. Так мы узнаем, как изменяется для этого множества событий положение события в пространстве при небольшом изменении его положения во времени. Обозначим длину дуги DA как Теперь можно определить формулу для расчета длины дуги DA на рисунке 29. Для этого используем формулу интегрирования: Следовательно: Значит, действительно, величину угла φ DA можно найти как отношение длины дуги L DA к радиусу окружности Длина дуги число мнимое, радиус окружности число действительное, а, следовательно, величина угла тоже мнимое число. Знак минус в этой формуле обозначает направление обхода. В школьном курсе математике на этом обычно не акцентируют внимание, но в высшей математике положительной принято считать величину угла, измеренного против часовой стрелки, и отрицательной величину угла, измеренного по часовой стрелке. Таким образом, в евклидовой геометрии положительным направлением обхода считается движение против часовой стрелки. В пространственно-временном сечении положительным будет направление обхода по часовой стрелке рис. В этой геометрии и в декартовых прямоугольных координатах любая прямая, мнимая и действительная, будет выглядеть как прямая. Ведь для прямой это соотношение верно для любой точки, а не только в точке касания с окружностью. С точки зрения геометрии, это будет означать, что треугольник OBA и треугольник ABE подобны, за исключением замены действительных прямых на мнимые и наоборот. Эти "чисто геометрические" соотношения напрямую связанны с очень интересными физическими эффектами. На Земле прошло время OB и, с точки зрения наблюдателя с Земли, на корабле прошло время OA. Отрезок OA короче отрезка OB и равен отрезку OD. А это означает, что, с точки зрения космонавта расстояние от него до Земли представляется в k раз меньше, чем наблюдателю с Земли. Кроме того, из этого следует, что космонавту будет представляться, что геометрические размеры Земли, и все связанные с ней объекты, уменьшились в k раз в направлении его движения. Для наблюдателя, который находится на Земле, 1 2cost представьте в виде произведения ось времени - t, будет представляться, что все события, лежащие на мнимой прямой DC, касательной к окружности в точке D, происходят одновременно с событием Для наблюдателя, который движется по оси времени t', то есть, по прямой OA, одновременными с событием A будут казаться события, лежащие на мнимой прямой EA, касательной к окружности в точке То есть, если землянин считает, что одновременно с событием B произошло событие A, то космонавт считает, что одновременно с событием A произошло событие И эти две системы отсчета равноправны, поэтому, ни один из них, ни землянин, ни космонавт, не могут считаться в большей степени правым, чем другой. Логика теории относительности в этом вопросе проста. Тот наблюдатель, который все время был инерциальной системой отсчета, не ускорялся, тот и считается эталоном. Это означает, что когда тот брат, который летал к звездам, вернется, он будет сверять свои часы с землянином, который никуда не летал и все время был инерциальной системой отсчета. А сам факт того, что человек ускорялся, был неинерциальной системой отсчета, признается, теорией относительности поводом 1 2cost представьте в виде произведения показания его часов недействительными. В системе отсчета наблюдателя, движущегося вдоль оси t, видно, что отрезки OD и DC перпендикулярны. А вот с точки зрения наблюдателя, который движется вдоль оси t', точно так же очевидно будет, что перпендикулярны отрезки OA и AE. Перпендикулярные линии в декартовых координатах на евклидовой плоскости выглядят как перпендикуляры только тогда, когда они параллельны осям координат. Еще одна особенность этой геометрии в том, как строятся перпендикулярные линии, и как осуществляется поворот перпендикулярных линий в пространстве. В евклидовом пространстве и в пространственно-временном сечении это происходит по-разному рис. В евклидовом пространстве при повороте прямой a на угол φ, перпендикулярная ей прямая b поворачивается на тот же угол φ и в том же направлении. Если прямая a поворачивается по часовой стрелке, то и перпендикулярная ей прямая b поворачивается тоже по 1 2cost представьте в виде произведения стрелке. Если прямая a поворачивается против 1 2cost представьте в виде произведения стрелки, то и перпендикулярная ей прямая b поворачивается тоже против часовой стрелки. В пространственно-временном сечении поворот прямой a по часовой стрелке на угол φ приводит к тому, что перпендикулярная ей прямая b поворачивается в другую сторону, то есть, против часовой стрелки, но тоже на угол φ. А при повороте прямой a против 1 2cost представьте в виде произведения стрелки на угол φ, перпендикулярная ей прямая b поворачивается по часовой стрелке на угол φ. Представить себе такое в евклидовом пространстве, очень трудно, и это еще один факт, который показывает, насколько различны свойства этих геометрий. 1 2cost представьте в виде произведения, что на рисунке 30 был изображен переход из системы отсчета t по часовой стрелки угол φ в систему отсчета t'. При этом перпендикуляр к оси t, мнимая прямая BA, поворачивается на угол φ против часовой стрелки и совмещается с 1 2cost представьте в виде произведения прямой AE. Вот так, 1 2cost представьте в виде произведения, мы дошли до преобразования координат из одной системы отсчета в другую. В евклидовой геометрии, для поворота системы координат X 1; Y 1 в другую систему координат X 2; Y 2часто используются формулы: Вывести эту формулу из формул, приведенных в 1 2cost представьте в виде произведения 3. И очень похожие формулы можно использовать для поворота систем координат в пространственно-временном сечении. Давайте посмотрим, как изменяются координаты определенного события при повороте координатных осей рис. На рисунке 33 ось времени t поворачивается на угол φ по часовой стрелке и совмещается с осью t'. Перпендикулярная ей пространственная ось x поворачивается тоже на угол φ, но против часовой стрелки и совмещается с осью x'. Временной интервал между событиями O и A является постоянной величиной - инвариантом. При переходе из одной системы координат в другую, это значение не изменяется. Я уже отмечал раньше, и повторю еще раз, временной 1 2cost представьте в виде произведения, это время, за которое объект переместится из события O в событие A, двигаясь прямолинейно и с постоянной скоростью. Причем, измерение времени производится по часам движущегося объекта. Естественно, что это значение никак не зависит от того, из какой системы отсчета за ним наблюдает другой человек. Если другой наблюдатель видит, что время у движущегося объекта замедляется, то, в том же отношении, 1 2cost представьте в виде произведения и ход часов у движущегося объекта. Результат получается тот же самый. Величина временного интервала не изменяется, изменяется только величина угла между прямой OA и координатными осями. Здесь и ниже символ φ n в данной формуле используется для того, чтобы показать, что мнимая величина φ n заменяется равной ей по абсолютному значению действительной величине, но с учетом знака. То есть, положительное мнимое число заменяется на положительное действительное, а отрицательное мнимое на отрицательное действительное. Это аналог преобразований Лоренца в теории относительности. На рисунке 33 отрезок OAB лежит на оси времени t'. В системе отсчета t', которая повернута к оси t на угол φ, пространственная ось координат x' повернута на угол φ по отношению к оси x, но в другую сторону. Из формул подобия треугольников, приведенных в параграфе 4. Так, что еще один способ точно провести эту касательную, просто сделать параллельный перенос оси x' в событие Однако есть еще один способ построить эту прямую. Для этого необходимо построить прямоугольник OCBD, как это показано на рисунке 34. Стороны этого прямоугольника образованы световыми прямыми. То есть, для того, чтобы попасть из события O в событие D, необходимо двигаться со скоростью света по прямой OD. То же самое касается и всех остальных отрезков прямых, составляющих прямоугольник OCBD. В системе отсчета t' эта же схема выглядит так, как показано на рисунке 35. В таком виде совершенно очевидно, что события C, A и D произошли одновременно. Наблюдатель в системе отсчета t' в событии O посылает импульсы света или радиосигнал в разные стороны. В событиях C и D сигнал отражается и возвращается к наблюдателю в событии В теории относительности постулируется постоянство скорости света, хотя на самом деле, речь идет о существовании некой предельной скорости, с которой связаны очень многие физические процессы. Скоростью света она называется только потому, что скорость распространения электромагнитного излучения в вакууме приближается к этой максимальной скорости. А в воздухе и в воде свет распространяется со скоростью гораздо меньшей, чем скорость света в вакууме. Вот и в данной схеме, постоянство скорости света в вакууме служит одной из причин заключить, 1 2cost представьте в виде произведения событие A и D произошли одновременно. Раз свет шел с постоянной скоростью в одном направлении от события O к D, а потом с той же постоянной скоростью в другом направлении от события D к B, то эти процессы заняли одинаковое время. То есть событие D должно произойти одновременно с событием A, делящим отрезок OB точно пополам. Если бы дело было только в максимальной скорости распространения электромагнитного излучения, то можно было бы использовать другой физический процесс и обнаружить смотри рисунок 33что события A, C и D 1 2cost представьте в виде произведения в разные моменты времени. Однако первый постулат теории относительности звучит так: Все процессы природы протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета. А это означает, что, согласно теории относительности, не существует таких процессов, при помощи которых можно определить какую-то выделенную неподвижную систему отсчета. Не существует также физических процессов, которые позволяют сделать вывод, что система отсчета, если она инерциальная, движется. Конечно, если человек ориентируется по окружающим его объектам, то он может обнаружить, что перемещается 1 2cost представьте в виде произведения большой скоростью в пространстве относительно окружающих его звезд, галактик и фона реликтового излучения. Но внутри корабля, согласно теории относительности, все физические процессы будут протекать точно так же, как если бы скорость космического корабля была мала, относительно звезд и галактик. Так, что схема на рисунке 34 показывает, как будет воспринимать события наблюдатель в системе отсчета t'. Это не просто эффект применения радара для движущегося объекта, а демонстрация свойств пространственно-временного континуума. Наблюдатель может применять для своих экспериментов другие средства. Например, можно определить расстояние до объекта методом параллакса, а затем вычислить время, за которое электромагнитный импульс испущенный в событии D достигнет события Результат определения одновременности событий C, A и D будет тем же. Представьте себе, что в мире с евклидовой геометрией на поверхности сферы живут существа, которые думают, что они живут на евклидовой плоскости. Существует история о том, как грек Эратосфен Киренский 276 год до н. Якобы, он обратил внимание на то, что в день летнего солнцестояния самый длинный день в году в городе Сиене Египет солнечные лучи освещают дно глубоких колодцев, а стволы деревьев не оставляют тени. А затем, он обратил внимание на то, что в Александрии Египетской, севернее, солнечные лучи до дна колодцев в этот день не достают, из этого он заключил, что Солнце светит в этих городах под разными углами. Эратосфен измерил величину тени, расстояние между городами и вычислил радиус и длину окружности Земли. Согласно Эратосфену, длина окружности Земли должна составлять 252000 стадий. В древнем мире было несколько разных единиц длины, 1 2cost представьте в виде произведения назывались стадиями. Некоторые исследователи считают, что вычисления Эратосфена были весьма точны, но при этом, известно, что его вычисления принимал в расчет Колумб, отправляясь в путешествие. Может быть, Колумб ошибся с выбором той единицей длины, которую Эратосфен называл стадией, но он полагал, что переплыв Атлантический океан, окажется в Индии. Ошибившись, Колумб очень удачно приплыл к американскому континенту. В рассказе об этом открытии Эратосфена есть ряд нестыковок, поэтому я считаю, что этот рассказ неточен. Эратосфен очень хорошо знал геометрию и он хорошо представлял себе, что если солнечные лучи в обоих городах движутся практически параллельно, то Солнце должно быть очень далеко от Земли и по размеру быть, если и не больше Земли, то уж сравнимо с Землей по размерам. Для нашего современника эти все вещи привычны настолько, что мы даже не замечаем этих противоречий, а для простого грека в этом открытии слишком много новых идей. И шарообразность Земли, и то, что Солнце удалено от Земли на огромные расстояния, и что Солнце не уступает Земле по размерам. Я думаю, что, скорее всего, история умалчивает о некоторых мелочах. Скорее всего, этот ученый принадлежал к одному из мистических сообществ - герметических школ, в которых обучались большинство известных ныне древнегреческих философов и математиков. И, скорее всего, будучи посвященным, достаточно высокого ранга, он верил в то, что Земля как Солнце и Луна имеет форму шара, возможно, верил в множественность обитаемых миров и множественность жизней - реинкарнацию. Во всю ту ересь, которой гораздо позже заразился Джордано Бруно. Еще я думаю, что история с колодцами действительно была, но это открытие послужило лишь подтверждением тех убеждений, которые у него уже были, как бы это открытие, ни было преподнесено окружающим. Если бы Эратосфен действительно был вначале убежден в том, что Земля плоская, то он как математик, легко бы нашел причину того, что солнечные лучи в разных городах падают под разными углами. Он должен был прийти к заключению, что Солнце расположено на определенном расстоянии над Землей и мог вычислить расстояние до него. По его измерениям это должно было быть, что то, порядка сорока тысяч стадий. По одной из версий, стадия равнялась 158 метрам, следовательно, Эратосфен мог предположить, что Солнце висит над Землей на расстоянии около шести тысяч километров. Это гигантское расстояние для человека той эпохи. Подобное предположение было вполне естественно и логично. Вот на рисунке 36 я схематично изобразил два случая, в одном параллельные лучи падают на сферическую поверхность, в другом концентрические лучи падают на плоскую поверхность. В обоих случаях на поверхности есть точка, в которой лучи будут падать вертикально. И в обоих случаях, при удалении от этой точки, лучи падают под углом к поверхности. Эратосфен принял свое открытие как аргумент в пользу шарообразности Земли, а я предлагаю представить себе существ, которые пришли к выводу, что Солнце висит над плоской поверхностью. Более того, я предлагаю предположить, что свое открытие эти существа стали использовать для измерений расстояний на своей поверхности. На рисунке 37 совмещены две схемы. На той схеме, которая изображена черным цветом, показано, как свет от источника S падает на плоскую поверхность P в точке B под углом 1 2cost представьте в виде произведения к вертикальной линии. На другой схеме, которая изображена синим цветом, показано, как из источника света, расположенного далеко за пределами схемы, луч света падает в точку A, расположенную на поверхности сферы Угол между прямой OA, перпендикулярной к этой поверхности, и лучом света будет тоже равен α. На этой схеме видно, что центр сферы O, точка A и точка B лежат на одной прямой. Кроме того, треугольники OBC и SBC подобны, а, следовательно, всю эту схему можно упростить и представить задачу как проекцию точки A лежащей на поверхности сферы E на плоскую поверхность P в точку B рис. Теперь о самой задаче. Речь идет о том, какие искажения при измерении расстояний возникнут, если гипотетические существа, живущие на сфере, 1 2cost представьте в виде произведения измерять расстояния при помощи Солнца. Напоминаю, эти существа полагают, что живут на плоскости, а само Солнце висит сравнительно невысоко над поверхностью. Но когда они научатся путешествовать на более далекие расстояния, 1 2cost представьте в виде произведения начнут перепроверять свои расчеты другими методами, их будет ожидать неожиданность. Смотрим на схему на рисунке 38. А вот при больших значениях угла α, расстояние, вычисленное придуманными существами, будет расти нелинейно. Пусть, города F, G и H расположены на прямой линии и расстояние между городами F и G такое же, как между городами G и Тогда расстояние между городами F и H, измеренное "по Солнцу" окажется больше, чем арифметическая сумма расстояний. Исследуя это явление, эти существа могут вывести формулу сложения расстояний. Мы уже знаем, в чем причина, и нам несложно будет узнать, результат этого исследования. Реальное расстояние между точками на поверхности будет равно αR, то есть, величине угла в радианах, умноженному на величину радиуса сферы. А расстояние "по Солнцу" у воображаемых существ будет равно R tg α. Тогда суммарное расстояние можно определить по формуле: А учитывая, что: где: l 1 и l 2 - это расстояния, которые нужно сложить, получаем в результате формулу для сложения расстояний: И вот теперь, пока придуманные существа пытаются понять, почему закон сложения расстояний в их мире такой сложный, мы снова вернемся к 1 2cost представьте в виде произведения относительности. Внутренняя топология этой поверхности - трехмерное пространство с отрицательной кривизной, хоть и мнимое, а радиус кривизны равен расстоянию до центра этой сферы событие Однако, закон сложения расстояний вдоль дуги по поверхности этой фигуры, в геометрии это еще называют геодезической линией, это простая арифметическая сумма. Причем, и это важно, величины углов не меняются при переходе из одной системы отсчета в другую. Это постоянные величины, которые не зависят от системы координат. При переходе в другую систему отсчета или в другую систему координат, меняется только расположение углов относительно координатных осей. Теперь давайте посмотрим, как связаны между собой углы и скорости. Рассмотрим схему на рисунке 40. Рассмотрим движение 1 2cost представьте в виде произведения пространственно-временном континууме трех объектов, A, B и С, которые движутся из одного события O, но с разными скоростями. Через одинаковый интервал времени T эти объекты окажутся 1 2cost представьте в виде произведения в событиях A, B и С точки зрения любого из наблюдателей, эти события произойдут в разные моменты времени, но интервалы времени OAOB и OC равны. Поскольку интервал времени, это промежуток времени, измеренный по часам самого движущегося объекта, эта величина никак не зависит от смены систем отсчета. Длины дуг AB и BC тоже остаются постоянной величиной в любой системе отсчета. А теперь посмотрим, что изменяется при переходах из одной системы отсчета в другую. Вот, например, один из наблюдателей, в системе отсчета объекта A, полагает, что одновременно с событием A произошли события B' и C'. События A, B и C расположены на одной мнимой прямой, параллельной оси x. Для наблюдателей в других системах отсчета, эти события будут происходить в разные моменты времени, и расстояние между ними в пространстве тоже будет изменяться. Но в любой системе отсчета интервал между этими событиями останется неизменным, любой интервал, хоть пространственный, хоть временной. Теперь отметим такой факт. Зная координаты событий B' и C' в системе отсчета наблюдателя A, можно рассчитать относительную скорость этих объектов. Также, используя эту формулу можно определить и относительную скорость объекта C, относительно Не напоминает ли вам это формулу, выведенную в прошлом параграфе? Разве что знак минус в одной формуле заменен на плюс в другой. Но и это вполне объяснимо. Вот две формулы: В первой формуле углы 1 2cost представьте в виде произведения 1 и α 2 в радианах определяются как отношение одной действительной величины к другой действительной величине, длины дуги к радиусу окружности. То есть, величины углов 1 2cost представьте в виде произведения 1 и α 2 - это действительные величины. А во второй формуле величины углов φ 1 и φ 2 определяются как отношение мнимой величины к действительной величине, мнимой длины дуги к радиусу. Следовательно, величины углов φ 1 и φ 2 - это мнимые величины. Но в этой формуле есть операция перевода мнимых величин в действительные величины, которая обозначена прямыми скобками. Если убрать эту операцию, то вторая формула будет 1 2cost представьте в виде произведения так: Вот теперь видно, что это практически та же самая формула, только с мнимыми аргументами. Эти две формулы описывают не только два процесса идентичных алгебраически и топологически, но и физически аналогичные процессы. При движении по поверхности сферы и вместе с этим движением происходит поворот вокруг оси - постоянный переход из одной системы отсчета в другую. Поэтому и длина должна накапливаться не по прямой, а по дуге окружности. 1 2cost представьте в виде произведения, если измерять длину по дуге окружности, то сумма расстояний рассчитывается как простая арифметическая сумма. 1 2cost представьте в виде произведения, если положение объекта проецировать на плоскость, его равномерное движение по поверхности сферы, будет выглядеть ускоренным, а закон сложения расстояний - нелинейным. Только в некоторых специальных случаях используется не скорость движения по дуге окружности, а ее проекция на плоскость. Это может использоваться, например, при расчете движения кулачкового механизма, когда вращающаяся часть механизма воздействует на отдельную деталь, которая может двигаться только в одной плоскости. В большинстве же случаев, используется именно скорость движения объекта по дуге окружности. В случае с пространственно-временным континуумом, объект, ускоряясь, тоже постоянно переходит из одной системы отсчета в другую. Поэтому, при ускорении, его скорость накапливается не по плоскости, а по дуге окружности. Необычным является 1 2cost представьте в виде произведения тот факт, что в пространственно-временном континууме ось, 1 2cost представьте в виде произведения в направлении движения, ось времени, является действительной, а перпендикулярное ей трехмерное пространство - мнимым. Как следствие, при отображении на евклидову плоскость, окружность из пространственно-временного континуума выглядит как гипербола. На рисунке 41 1 2cost представьте в виде произведения соответствует отношению длины отрезка AB' к длине отрезка OA. То есть, при способе измерения скорости принятом в классической физике, скорость оказывается пропорциональна длине отрезка AB, пройденного объектом за единицу времени. При маленьких скоростях, такой упрощенный подход себя оправдывает. А вот при скоростях, сравнимых по величине со скоростью света, оказывается, что эти приращения накапливаются вдоль дуги AB. Дугу AB можно рассматривать как последовательность небольших мнимых отрезков и величина этой дуги имеет размерность длины. Поэтому, когда мы находим отношение этой дуги к радиусу T, это отношение имеет размерность скорости. Этот способ измерения скорости 1 2cost представьте в виде произведения аналогичен упомянутому выше способу измерения скорости вращения точки по окружности, в классической физике. В данной работе, эту скорость V, найденную как отношение длины дуги AB к радиусу T, я буду называть релятивистской скоростью. Такое употребление термина "релятивистская скорость" отличается от общеупотребительного значения, при котором он означает просто скорость, сравнимую по величине со скоростью света. Однако здесь можно сделать ссылку на замечательную работу в этом направлении, в которой уже была использована подобная терминология: Именно эта 1 2cost представьте в виде произведения в середине восьмидесятых годов стала толчком к моему исследованию в данном направлении. Следует только сделать замечание, в упомянутой выше работе, "V- скорость", "релятивистское пространство", "сложение скоростей в релятивистском пространстве" рассматриваются скорее как удобный математический прием, позволяющий производить расчеты движения объектов со скоростями близкими к скорости света. Я же в данной работе обращаю внимание на то, что релятивистская скорость, или V-скорость, по терминологии, использованной в вышеупомянутом источнике, имеет вполне конкретное физическое значение. Но здесь есть небольшая тонкость. Для стороннего наблюдателя, который находится, например, на Земле, это время будет другим. Никаких сложных пересчетов, при которых формула относится к числу наиболее легких, не требуется. Еще в начале первой главы я указывал, что данная формула сложна только потому, что в ней используются физические величины классической физики, скорости, измеренные по правилам классической физики. Это не сложнее, чем найти величину катета прямоугольного треугольника, зная величины гипотенузы и угла. Многие формулы физики, в которых, так или иначе, используется сложение скоростей или ускорение, в том числе, формулы, в которых 1 2cost представьте в виде произведения, энергия импульс частиц рассчитывается по разнице скоростей объектов, становятся намного проще и понятней, когда в них используется релятивистская 1 2cost представьте в виде произведения. Игры с геометрией 5. В нем, как в русской кукле-матрешке сочетаются и вложены 1 2cost представьте в виде произведения в друга различные геометрии. Цели данной работы не позволяют подробно описать все известные мне геометрии из этого ряда, поэтому я остановлюсь только на самых простых и очевидных из них. Остальные я, возможно, рассмотрю в отдельной статье. Самой простой, из самых простых геометрий, очевидно, будет евклидова геометрия. Исключительно потому, что она подробно изучается в школе, и еще потому, что это геометрия хорошо описывает наблюдаемый нами окружающий мир. В пространственно-временном континууме подобными свойствами обладает любое пространственное сечение, перпендикулярное определенной оси времени. С точки зрения наблюдателя, движущегося в пространственно-временном континууме вдоль этой оси времени, все точки-события, принадлежащие такому сечению, происходят одновременно. Вблизи больших гравитационных масс, свойства такого пространственного сечения несколько отличаются от свойств евклидовой геометрии, но в большинстве случаев этим вполне можно пренебречь. В пределах Солнечной системы эти искажения настолько малы, что едва регистрируются при помощи самых точных приборов. Результатом этих искажений является небольшое отклонение лучей света от звезд, проходящих вблизи поверхности Солнца. Небольшое отклонение составляет угол 0'85. Отличия свойств пространственного сечения от евклидовой геометрии должны стать ощутимыми только вблизи таких объектов, как черные дыры. Но эту тему я здесь не рассматриваю. На самом деле и в евклидовой геометрии много подводных камней. Привыкнув следовать определенной логике, мы на многие вещи просто не обращаем внимания. Для нас нормальным является факт, что прямая 1 2cost представьте в виде произведения самый короткий путь в пространстве, что плоскость можно замостить правильными шестиугольниками, а пятиугольники и семиугольники для этой цели не годятся. Еще, нас не удивляет тот факт, что если прямая a перпендикулярна прямой b, то и прямая b всегда перпендикулярна прямой a. Пространство, в котором мы живем, обладает определенными свойствами и по определенным причинам. Вопрос о том, почему пространство обладает такими свойствами, следует отнести ко времени формирования нашей вселенной. Прежде всего, рассмотрим тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника в евклидовом пространстве рис. В этих формулах использованы следующие обозначения: h a, h b и h c - высоты треугольника, отложенные соответственно от сторон a, b и c. R - радиус описанной вокруг треугольника окружности. Для этой геометрии Евклид в своей многотомной книге "Начала" сформулировал пять требований - постулатов, ряд аксиом и определений. Некоторые исследователи считают, что ряд определений, аксиом, и даже постулатов, были включены в текст "Начал" позднейшими авторами. Из определений того, что такое точка, прямая, плоскость, угол, треугольник, окружность, и тому подобных вещей, можно узнать много интересного о свойствах этой геометрии. Например, о том, что окружность это замкнутая линия. Аксиомы и постулаты в евклидовой геометрии, это недоказуемые предположения, на основе которых в дальнейшем строятся все теоремы. Среди исследователей до сих пор продолжаются споры о том, по какому критерию Евклид провел различие между аксиомами и постулатами. Одно из мнений в этом споре состоит в том, что аксиомы более очевидны, чем постулаты. Многие аксиомы были введены в евклидову геометрию не в текст "Начал"! Вот аксиомы, которые приведены в "Началах": 1. Равные одному и тому же, равны между 1 2cost представьте в виде произведения. Если к равным прибавляются равные, то и результаты будут равны. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны. Если к неравным прибавляются равные, то результаты будут не равны. Удвоенные одного и того же равны между собой. И половины одного и того же, равны между собой. Совмещающиеся друг с другом равны между собой. Две прямые не содержат пространства. Параллельно с аксиомами Евклида я привел арифметические аксиомы, но сам Евклид вкладывал в них именно геометрический смысл. Две последние аксиомы, по-видимому, позднейшая вставка. Смысл девятой аксиомы в том, что двумя прямыми невозможно отделить на плоскости участок конечного размера. От всякой 1 2cost представьте в виде произведения до всякой точки можно провести прямую. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. Все прямые углы равны между собой. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых. Смысл первого постулата в том, что между двумя любыми точками пространства может быть проведена прямая линия. Выше мы видели, что в пространственно-временном сечении этот постулат не соблюдался. Провести можно было только действительную линию, а мнимая линия являлась последовательностью топологически не связанных между собой точек. Второй постулат, в том значении, которое в него вкладывал Евклид, не соблюдается на поверхности сферы. Если на сфере продолжать прямую линию, то она замкнется на саму себя. 1 2cost представьте в виде произведения постулат соблюдается в евклидовой геометрии, а в пространственно-временном сечении линию окружности замкнуть невозможно. Четвертый постулат показывает, что Евклид делал различие между измерением величины угла и построением прямого угла 1 2cost представьте в виде произведения перпендикуляра одной прямой к другой. Во всех, рассматриваемых в этой работе геометриях, данный постулат соблюдается. На отрицании пятого постулата построил свою геометрию русский математик Лобачевский. Обычно именно семейство геометрий, основанных на отрицании пятого постулата, называется неевклидовыми геометриями. На самом деле, можно построить неевклидову геометрию на отрицании любого из постулатов. Когда мы переходим от евклидовой геометрии к пространственному сечению, то получаем аналог евклидовой геометрии, в которой все линии мнимые. При этом все углы между мнимыми прямыми в этой геометрии имеют действительное значение. Это относится ко всем приведенным выше в этом параграфе формулам. Для того чтобы получить настоящую евклидову геометрию, пространственное сечение нужно заставить постоянно двигаться во времени. Но, в отличие от рассмотренного в предыдущем параграфе, с точки зрения любого из наблюдателей, эти события происходят не одновременно. Образуется эта поверхность, которая на рисунке обозначена букой S, как множество событий, расположенных на одинаковом интервале времени от некоторого события В точке A поверхность S соприкасается с рассмотренным выше пространственным сечением, которое на этом рисунке показано как диск C, ограниченный световым конусом. По расстоянию между точками A и B C на поверхности C рассчитывается классическая скорость. По расстоянию между точками A и B S рассчитывается релятивистская согласно принятой в прошлой главе терминологии скорость. Я уже отмечал, что, несмотря на то, что эта поверхность в декартовых координатах выглядит как гиперболоид и самом деле, является сферой, ее внутренняя геометрия, это геометрия открытая Лобачевским, геометрия с постоянной отрицательной кривизной. Такую геометрию нельзя без искажений отобразить в евклидовом пространстве, разве что небольшой участок, который называется седловиной, рисунок 45. В пространственно-временном континууме многие вещи выглядят совсем не тем, чем являются на самом деле, если их рассматривать с точки зрения евклидовой геометрии. В геометрии Лобачевского тоже есть понятие перпендикулярных линий, а вот определение линий параллельных друг другу совсем не такое, как в евклидовой геометрии. Дело в 1 2cost представьте в виде произведения, что если в некоторой области пространства две прямые a и b на плоскости идут параллельно друг другу, то затем, в обоих направлениях, они 1 2cost представьте в виде произведения, удаляются друг то друга рис. Поэтому, если 1 2cost представьте в виде произведения некоторая прямая a и точка B, расположенная на некотором расстоянии от этой прямой, то через нее можно провести множество различных прямых, каждая из которых в определенной области пространства будет параллельна прямой a. Ни одна из этого множества прямых не пересечет прямую a рис. Прямая a условно показана как прямая в евклидовом пространстве, без искажений, а остальные прямые показаны с искажением, как кривые линии. Прямая b станет параллельна прямой a в бесконечности, справа от рисунка, а прямая с станет параллельна прямой a в бесконечности слева от рисунка. Все остальные прямые, лежащие между прямыми b и c, будут идти параллельно прямой a где то между этими двумя крайними значениями. Из этого множества прямых Лобочевский 1 2cost представьте в виде произведения параллельными прямой a только те, которые становятся параллельными в бесконечности. Естественно, при таких свойствах этого пространства, тригонометрические формулы тоже меняются. Не удивляйтесь, глядя на форму этого треугольника. Математиками еще в 19 веке доказано, что отобразить фигуру из плоскости Лобачевского на евклидову плоскость без искажений невозможно, как невозможно на плоской поверхности без искажений отобразить поверхность глобуса. Можно задать такое отображение, при котором отдельные элементы или отдельные их параметры будут отображены без искажений. На рисунке 48 без искажений отображены величины углов и длины отрезков, но пришлось пожертвовать их прямолинейностью. В оригинале, на плоскости Лобачевского, все стороны этого треугольника - прямые линии. Есть другие варианты отображения. Например, можно отобразить треугольник так, чтобы его стороны сохранили свой размер и прямолинейность, но тогда искаженными будут выглядеть величины углов и другие прямые линии. Можно задать такое отображение, при котором все прямые, проходящие через определенную точку, будут выглядеть как прямые и без искажения размеров, но длины и форма других прямых будет искажена. Дополнительно, при таком отображении величины всех углов будут даны без искажения. Используя такой способ отображения удобно изображать две любые стороны треугольника и все его углы без искажений, искаженной будет в этом случае выглядеть только одна сторона рис. Как видно на этом рисунке, стороны b и с теперь выглядят как прямые линии, длина и форма этих сторон, а также все углы треугольника даны без искажений, зато сторона a искажена еще сильнее. Прямоугольный треугольник на плоскости Лобачевского, у которого без искажений отображены катеты и все углы, а гипотенуза значительно уменьшена, по сравнению с оригиналом, выглядят так рис. Кроме того, не забываем, в нашем случае, это пространство не только с отрицательной кривизной, но и мнимое, поэтому в формуле присутствует мнимая единица i. Из этих формул вполне можно получить формулы для евклидовой геометрии, если принять радиус кривизны бесконечно большим, а затем применить формулы подстановки для малых углов. Для произвольного треугольника на плоскости Лобачевского выполняется теорема синусов и две теоремы косинусов. Из этих формул для нахождения площади треугольника непосредственно следует факт существования треугольника с максимальной площадью. При такой площади значения всех углов должны стремиться к нулю, а величины его сторон к бесконечно большой величине. Катеты и гипотенуза такого треугольника по величине стремятся к бесконечности, а величины углов, прилежащих к гипотенузе, к нулю. При этом возникает парадоксальная, с точки зрения евклидовой геометрии ситуация рис. Легко доказать, что если произвольный треугольник ABC разбить прямым отрезком на две части ABD и BDC, то сумма дефектов треугольников ABD и BDC будет равна дефекту треугольника ABC. Точно так же, как в классической физике скорость получается делением пройденного расстояния на время. Следовательно, обсуждая законы сложения релятивистских скоростей, мы продолжаем тему пространства с отрицательной кривизной. Вообще то, пространство скоростей, это удобная абстракция. Это касается и пространства классических скоростей и пространства скоростей релятивистских. Когда в классической физике, мы складываем в евклидовом пространстве два вектора скорости рис. Речь не идет об еще одном, параллельном физическому миру, пространстве. Точно так же, когда речь идет о сложении релятивистских скоростей, мы действуем подобным образом, но уже на поверхности пространства Лобачевского рис. В таком виде, длины отрезков AB, BC и AC на поверхности пространства скоростей V сильно преувеличены. Преувеличены даже проекции этих 1 2cost представьте в виде произведения на координатную пространственную плоскость Oi xi y. Для любителей проективной геометрии, я могу даже показать, как из проекции A'B'C' получить отображение, которое сохраняет длины и форму двух сторон, а также величины всех углов. На рисунке 54 красным цветом показан треугольник A'B'C', который получился при отображении на рисунке 53. При таком отображении размеры всех отрезков на прямых, проходящих через точку A' значительно преувеличены. Причем, чем длиннее отрезок, тем больше искажение. Но в этой проекции в натуральную величину показаны дуги окружностей с центром в точке A'. Например, размер дуги B'D' соответствует действительному ее размеру. Длина дуги B'C' больше реального размера отрезка BC. Для того чтобы получить реальные размеры прямых отрезков AB и AC, необходимо произвести следующее построение. Затем, эти проекции опускаются на прямую линию, проходящую под углом 45 градусов к осям координат, которая изображена черным цветом и вновь возвращаются к треугольнику на прямые A'B' и A'C'. На этих прямых отмечаем точки B" и C". Теперь, полученная фигура A"B"C", которая обозначении синим цветом, это отображение треугольника ABC пространства скоростей, у которого без искажений отображены длины и форма прямых отрезков AB и AC, а также все углы. Сторона треугольника расположенная напротив точки O изображена с искажением формы и размеров. Реальный размер этой стороны больше длины дуги B"C", но, меньше длины дуги B'C'. Сложение релятивистских скоростей V AB и V BC, расположенных под углом друг к другу происходит по правилам тригонометрии плоскости Лобачевского рис. Такие формулы нахождения скорости на плоскости Лобачевского конечно сложнее чем их векторная форма Но если на все это смотреть с точки зрения классической физики, то формула становится еще сложнее. В связи с этим, рассмотрим еще одну форму отображения плоскости Лобачевского, которая называется интерпретацией Бельтрами, по фамилии математика ее обнаружившего. При таком отображении вся бесконечная плоскость Лобачевского отображается на круг ограниченного диаметра на евклидовой плоскости. Графически, и конкретно для релятивистских скоростей, такое отображение будет выглядеть следующим образом рис. При этом отображении события на поверхности сферы S B S и C S отображаются соответственно в события B C и 1 2cost представьте в виде произведения C, круга C радиусом ic на евклидовой плоскости параллельной координатным осям ix и iy. В результате получаем следующую картинку рис. События на сфере S, расположенные бесконечно далеко от точки A, в интерпретации Бельтрами оказываются отображенными на окружность ic - скорость света в классической физике. С точки зрения классической физики, при помощи интерпретация Бельтрами как раз и получается скорость объекта в пространстве. То есть, длины отрезков A CB C и A CC C соответственно равны классическим скоростям, соответственно, v AB и v AC. Как и любое другое отображение плоскости Лобачевского на евклидову плоскость, интерпретация Бельтрами дает целый ряд искажений. Во-первых, длины всех отрезков, в данном случае, векторов скоростей, оказываются искажены. Все углы между векторами при таком отображении тоже искажены, за исключением углов, вершина которых находится в центре круга Только величины углов с вершиной в центре круга, отображаются верно. Интересной особенностью интерпретации Бельтрами является то, что все прямые линии плоскости Лобачевского отображаются на прямые отрезки евклидовой плоскости. Это очень важное свойство можно использовать в расчетах. Эта ошибка не позволила ему открыть другую геометрию, геометрию, в которой сумма углов треугольника больше величины π, которую во второй половине девятнадцатого века исследовал Риман. Сферическая геометрия более наглядна, чем геометрия Лобачевского, уже просто потому, что для того чтобы убедиться в ее существовании достаточно просто посмотреть на глобус. Возможно, что если бы Лобачевский дал новую геометрию в связке со сферической геометрией, его идеи быстрее нашли понимание. В самом начале работы Лобачевского есть теорема, в которой утверждается, что не может существовать геометрии, в которой сумма углов треугольника больше числа π. В то же время, мне было известно о существовании геометрии с положительной кривизной пространства или сферической геометрии. В этой геометрии сумма углов треугольника больше чем π, поэтому я стал разбираться, в чем тут дело. Эту теорему Лобачевский доказывал от обратного. Вначале он предположил возможность существования геометрии, в которой сумма углов треугольника больше величины π. Затем, начал последовательно изменять форму треугольника так, чтобы его площадь и 1 2cost представьте в виде произведения углов оставались неизменными, два угла из трех становились все меньше, а третий увеличивался. Затем он доказал, что если продолжать этот процесс некоторое время, наступит момент, когда значение третьего угла станет больше величины π рис. Не привожу здесь полных версий доказательств, чтобы не перегружать текст. Данный факт показался ему достаточным для того, чтобы заявить о наличии противоречия и о невозможности построения геометрии обладающей подобными свойствами. В чем именно состоит это противоречие, не вполне понятно, но можно продолжить данное рассуждение. Точно так же, как был построен треугольник с углом больше величины π, можно построить и треугольник, у которого два угла больше 0, а третий угол равен π, как это показано на рисунке 60. У такого "треугольника" стороны AC и CB образуют одну прямую линию. Существование такой фигуры противоречит аксиоме 9 евклидовой геометрии, согласно которой: две прямые не содержат пространства. Это означает, что в евклидовой геометрии невозможно двумя прямыми отделить участок пространства. В данной геометрии такое возможно. Используя принципы симметрии, можно доказать, что в этой фигуре величины углов α и β равны между собой, а так же длина отрезка AB, равна длине отрезка ACB. Далее, раз ACB это прямая линия, то к ней можно приложить еще один точно такой же треугольник рис. Полученная фигура по площади в два раза больше треугольника ABC, а углы в вершинах A и B равны 2α. Продолжая дальше прикладывать одна к другой подобные фигуры, 1 2cost представьте в виде произведения это показано на рисунке 62, можно достичь того, чтобы величины углов при вершинах A и B стремились к значению 2π, то есть, к полному углу. Таким образом, можно доказать, что полученная фигура покроет все пространство и при этом его площадь останется конечной величиной. А это будет означать, что площадь такого пространства имеет конечную величину. Более того, можно показать, что прямая AB, если ее продолжать, замкнется сама на себя, а это уже нарушение второго постулата евклидовой геометрии. При таких необычных свойствах этой геометрии, самое сложное, это осознать, что речь идет о хорошо знакомой поверхности шара. Именно на поверхности шара можно построить треугольник с тремя прямыми углами рис. Но, точно так же, как и на плоскости Лобачевского, в сферической геометрии дефект треугольника пропорционален его площади. Точно так же, как и на плоскости Лобачевского, в сферической геометрии определен дефект n-угольника, который равен разности суммы углов n-угольника и числа π n-2 и по этим данным можно определить площадь этой фигуры. Тригонометрические формулы в сферической геометрии имеют свои особенности. Для прямоугольного треугольника на сфере действуют следующие тригонометрические выражения рис. Можно сравнить эти формулы с теми, которые действуют на плоскости Лобачевского и убедиться в том, что они почти идентичны. Почти относится к тому, что все функции ch, sh и th заменены соответственно на функции cos, sin и tg. Но этому есть простое объяснение, в формулах для плоскости Лобачевского мнимая величина отношения длин отрезков к радиусу кривизны заменена его действительным аналогом. Если же использовать мнимое значение аргументов функций, то придется использовать те же самые формулы, что и для сферической геометрии. Есть только одно обстоятельство, заставляющее использовать разные формулы, даже среди инженерных калькуляторов трудно найти такой, который извлекает гармонические функции из мнимых аргументов. То же самое относится и к тригонометрическим соотношениям для произвольного треугольника рис. Обратите внимание, в этих формулах меняется не только ch и sh на cos и sin, но и знак перед вторым членом в правой части уравнения. И здесь те же самые замены. И вот еще один факт для тех, кто хочет разобраться с логикой происходящего. 1 2cost представьте в виде произведения, что дефект треугольника для сферической геометрии имеет другой знак, так же напрямую связан с тем, что в одном случае, значение радиуса кривизны мнимое, а в другом действительное. Соответственно, квадрат радиуса кривизны в одном случае имеет отрицательное значение, а в другом положительное. Тем не менее, это так. Правда, законы этой тригонометрии отличаются от законов геометрий рассмотренных выше. Рассмотрим обычный прямоугольный треугольник ABC, изображенный на рисунке 66. Отрезок a лежит под углом φ к оси ix, а отрезок b лежит под углом φ 1 2cost представьте в виде произведения оси t. В показанном 1 2cost представьте в виде произведения рисунке треугольнике две стороны b и d образованы действительными отрезками, а третья 1 2cost представьте в виде произведения a образована мнимым отрезком. Об отличиях построения перпендикулярных прямых в этой геометрии я рассказывал раньше. Частным случаем треугольника изображенного на рисунке 66 является прямоугольный треугольник, у которого катеты параллельны координатным осям Ot и Oix, рисунок 67. Могут быть и другие варианты, например, когда две стороны треугольника образованы мнимыми отрезками, а третья - действительными. Варианты, когда одна или несколько сторон треугольника образованы световыми линиями, я пока не рассматриваю. Но в любом прямоугольном треугольнике, если один из катетов является действительным отрезком, другой катет должен быть мнимым отрезком и наоборот. Величины всех углов треугольников показанных на рисунках 66 и 67 мнимые, но при этом, угол α простой, а углы β и γ составные, состоят из двух частей. Обе части каждого из этих составных углов по величине бесконечно велики, но один из них со знаком плюс, а другой со знаком минус их сумма равна конечной величине. Поэтому, этими величинами можно оперировать как обычными углами. По-прежнему, величина угла α мнимая. А операция α означает замену мнимого аргумента, равным ему по величине действительным аргументом, 1 2cost представьте в виде произведения учетом знака. Оперировать составными углами сложнее, здесь приходится вспоминать математику Кантора, который складывал, вычитал и перемножал бесконечные величины. Несмотря на то, что рассматриваемое пространство далеко не евклидово, к нему тоже применимо понятие кривизны, 1 2cost представьте в виде произведения оно относится к пространствам с нулевой кривизной. Как видно из рисунка 68, вместе обе части составного угла β и угол α составляют прямой угол. Если увеличить катет a, так, чтобы он достиг светового конуса, построенный от точки A получим треугольник, одна сторона которого лежит на световой прямой рис 69. Этот прямоугольный треугольник можно было бы даже назвать равнобедренным, поскольку, по абсолютной величине, длины его катетов равны. Только один катет действительный, а другой мнимый. Но это не главная его особенность. В этом треугольнике величины углов α и β равны и стремятся к бесконечно большой величине, а длина гипотенузы d к бесконечно малой величине. Вычислить величины катетов используя длину гипотенузы и величины углов α и β, через функции синус и косинус, не получится. Если увеличить длину катета a так, чтобы он пересек световой конус, то уже угол α станет составным, а угол β состоящим только из одной части. Однако теперь, можно выразить эти величины через угол β. На угол β обратим особое внимание. До сих пор, таких углов мы не рассматривали. Этот угол образован двумя мнимыми 1 2cost представьте в виде произведения, дуга окружности, по которой мы измеряем величину угла - действительная линия, а радиус этой дуги - имеет мнимое значение и любой отрезок прямой, соединяющий точку B с этой дугой будет мнимой линией рис. Величина угла β определена как отношение длины дуги EF к ее радиусу Радиус L постоянная величина. Согласно приведенному ранее определению временного интервала с мнимым значением, он равен расстоянию между точкой-событием B и любой точкой-событием на дуге в системе отсчета, в которой эти события произошли одновременно. То есть, временной интервал между точкой F и точкой B равен расстоянию в пространстве между этими событиями в системе отсчета, когда события F и B происходят одновременно. Эта дуга действительная линия, а это означает, что возможно движение реального физического объекта по такой траектории. И двигаясь по ней, наблюдатель каждый раз будет обнаруживать, что расстояние от него до события B не изменяется, все время остается постоянным. Но самое интересное то, что с точки зрения этого наблюдателя, время объекта B остановится. Двигаясь по дуге EF и проводя измерения, наблюдатель обнаружит, что событие C постоянно происходит одновременно с любым моментом замера. В этом отношении мнимая величина была в числителе, и величина угла тоже была мнимой величиной. В этом соотношении результат тоже мнимая величина, но при этом, числитель действительная величина, а знаменатель мнимая. Поэтому, можно записать: Или: Знак минус в этой формуле означает, что положительное направление обхода в этой области меняется на противоположное направление. На рисунке 72 в декартовых координатах действительные линии показаны как сплошные, мнимые линии показаны как пунктирные, а световой конус как штрихпунктирные линии. Красными стрелками показано 1 2cost представьте в виде произведения направление обхода при измерении углов. Эти же дуги окружности можно показать в радиальных координатах рис 73. В таком виде более очевидно, что они действительно являются дугами окружности, и что полный угол включает в себя четыре дуги окружности, разделенные световыми линиями.

См. также